あるウイルスの検査において、感染しているのに「感染していない」と判定される確率が1%、感染していないのに「感染している」と判定される確率が2%である。集団全体の5%がこのウイルスに感染しているとき、「感染している」と判定された人が、実際には感染していない確率を求める。

1. 問題の内容

あるウイルスの検査において、感染しているのに「感染していない」と判定される確率が1%、感染していないのに「感染している」と判定される確率が2%である。集団全体の5%がこのウイルスに感染しているとき、「感染している」と判定された人が、実際には感染していない確率を求める。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いて計算します。

* 事象を定義します。

* $A$: 感染している

* $B$: 感染していない

* $T$: 検査で「感染している」と判定される

* 問題文より、以下の確率が与えられています。

* $P(A) = 0.05$ (感染している確率)

* $P(B) = 1 - P(A) = 0.95$ (感染していない確率)

* $P(\overline{T}|A) = 0.01$ (感染しているのに「感染していない」と判定される確率)

* $P(T|A) = 1 - P(\overline{T}|A) = 0.99$ (感染しているのに「感染している」と判定される確率)

* $P(T|B) = 0.02$ (感染していないのに「感染している」と判定される確率)

* $P(\overline{T}|B) = 1 - P(T|B) = 0.98$ (感染していないのに「感染していない」と判定される確率)

* 求めたい確率は $P(B|T)$ (検査で「感染している」と判定されたときに、実際には感染していない確率) です。ベイズの定理より、

$P(B|T) = \frac{P(T|B)P(B)}{P(T)}$

* $P(T)$ を計算します。これは、検査で「感染している」と判定される確率です。

$P(T) = P(T|A)P(A) + P(T|B)P(B)$

$P(T) = (0.99 \times 0.05) + (0.02 \times 0.95) = 0.0495 + 0.019 = 0.0685$

* $P(B|T)$ を計算します。

$P(B|T) = \frac{0.02 \times 0.95}{0.0685} = \frac{0.019}{0.0685} \approx 0.27737$

3. 最終的な答え

求める確率は約 0.2774 (27.74%) です。