与えられた $x$ と $y$ のデータに対して、それぞれの平均 ($\bar{x}$, $\bar{y}$)、分散 ($s_x^2$, $s_y^2$)、そして相関係数 $r$ を計算する。データは以下の通り。 | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | $y$ | 4 | 3 | 6 | 5 | 7 |

1. 問題の内容

与えられた $x$ と $y$ のデータに対して、それぞれの平均 ($\bar{x}$, $\bar{y}$)、分散 ($s_x^2$, $s_y^2$)、そして相関係数 $r$ を計算する。データは以下の通り。

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

|---|---|---|---|---|---|

| $y$ | 4 | 3 | 6 | 5 | 7 |

2. 解き方の手順

(1) 平均の計算

$x$ の平均 $\bar{x}$ は、データの総和をデータ数で割ることで求められる。

$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$y$ の平均 $\bar{y}$ も同様に計算する。

$\bar{y} = \frac{4 + 3 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$

(2) 分散の計算

$x$ の分散 $s_x^2$ は、$x_i$ の各値と平均 $\bar{x}$ との差の二乗を合計し、それをデータ数で割ることで求められる。

$s_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2}{5}$

$s_x^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5}$

$s_x^2 = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2}{5} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$y$ の分散 $s_y^2$ も同様に計算する。

$s_y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} (y_i - \bar{y})^2}{5}$

$s_y^2 = \frac{(4-5)^2 + (3-5)^2 + (6-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2}{5}$

$s_y^2 = \frac{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2}{5} = \frac{1 + 4 + 1 + 0 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(3) 共分散の計算

共分散 $s_{xy}$ は、$(x_i - \bar{x})$ と $(y_i - \bar{y})$ の積の平均で求められる。

$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{5}$

$s_{xy} = \frac{(1-3)(4-5) + (2-3)(3-5) + (3-3)(6-5) + (4-3)(5-5) + (5-3)(7-5)}{5}$

$s_{xy} = \frac{(-2)(-1) + (-1)(-2) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{5} = \frac{2 + 2 + 0 + 0 + 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$

(4) 相関係数の計算

相関係数 $r$ は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ることで求められる。標準偏差は分散の平方根である。

$r = \frac{s_{xy}}{\sqrt{s_x^2} \sqrt{s_y^2}} = \frac{1.6}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1.6}{2} = 0.8$

3. 最終的な答え

$x$ の平均: 3

$y$ の平均: 5

$x$ の分散: 2

$y$ の分散: 2

相関係数: 0.8