1, 2, 3, 4, 5 の 5 つの数字から異なる 2 つの数字を選んで分数を作ります。このとき、整数にならない分数は何個できるかを求めます。ただし、約分して等しいものは同じものとします。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の 5 つの数字から異なる 2 つの数字を選んで分数を作ります。このとき、整数にならない分数は何個できるかを求めます。ただし、約分して等しいものは同じものとします。

2. 解き方の手順

まず、5つの数字から異なる2つの数字を選んで作れる分数の総数を考えます。分母と分子の選び方は、5つの数字から2つを選ぶ順列なので、 $5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、このうち整数になるものを除きます。

* 分子が分母の倍数になる場合を探します。

* 2/1 = 2

* 3/1 = 3

* 4/1 = 4

* 5/1 = 5

* 4/2 = 2

* 6/2 = 3（6はないので除外）

* 6/3 = 2 (6はないので除外)

* 8/2 = 4（8はないので除外）

* 9/3 = 3 (9はないので除外)

* 8/4 = 2（8はないので除外）

* 10/2 = 5 (10はないので除外)

* 10/5 = 2 (10はないので除外)

* 12/3 = 4 (12はないので除外)

* 12/4 = 3 (12はないので除外)

* 15/3 = 5 (15はないので除外)

* 15/5 = 3 (15はないので除外)

* 16/4 = 4 (16はないので除外)

* 20/4 = 5 (20はないので除外)

* 20/5 = 4 (20はないので除外)

分子が分母の倍数になるのは、2/1, 3/1, 4/1, 5/1, 4/2の5個です。

次に、約分できる分数を考えます。

約分できる分数は、最大公約数が1でない分数のことです。

1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/1, 2/3, 2/4, 2/5, 3/1, 3/2, 3/4, 3/5, 4/1, 4/2, 4/3, 4/5, 5/1, 5/2, 5/3, 5/4の20通りあります。

このうち、約分できる分数は、2/4, 4/2 の2つだけです。しかし、4/2はすでに整数の場合にカウントされています。

したがって、求める分数の個数は、

$20 - 5 = 15$

3. 最終的な答え

15個