5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複して使ってできる自然数について、以下の問いに答えます。 (1) 4桁の自然数は何個あるか。 (2) 4桁以下の自然数は何個あるか。 (3) 4桁の偶数は何個あるか。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複して使ってできる自然数について、以下の問いに答えます。

(1) 4桁の自然数は何個あるか。

(2) 4桁以下の自然数は何個あるか。

(3) 4桁の偶数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の自然数

4桁の自然数を作る場合、千の位には0以外の数字（1, 2, 3, 4）が入ります。百、十、一の位には0, 1, 2, 3, 4のいずれの数字も入ることができます。

千の位の選び方は4通り、百の位の選び方は5通り、十の位の選び方は5通り、一の位の選び方は5通りです。

したがって、4桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ 個です。

(2) 4桁以下の自然数

4桁以下の自然数は、1桁、2桁、3桁、4桁の自然数の合計です。

1桁の自然数：0以外の数字を選ぶので、1, 2, 3, 4の4通り。

2桁の自然数：十の位は0以外の数字（1, 2, 3, 4）、一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、 $4 \times 5 = 20$ 通り。

3桁の自然数：百の位は0以外の数字（1, 2, 3, 4）、十の位と一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、 $4 \times 5 \times 5 = 100$ 通り。

4桁の自然数は(1)で求めたように500通り。

したがって、4桁以下の自然数の個数は、

$4 + 20 + 100 + 500 = 624$ 個です。

(3) 4桁の偶数

4桁の偶数を作る場合、千の位には0以外の数字（1, 2, 3, 4）が入ります。百、十の位には0, 1, 2, 3, 4のいずれの数字も入ることができます。一の位には偶数（0, 2, 4）が入ります。

千の位の選び方は4通り、百の位の選び方は5通り、十の位の選び方は5通り、一の位の選び方は3通りです。

したがって、4桁の偶数の個数は、

$4 \times 5 \times 5 \times 3 = 300$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の自然数は500個

(2) 4桁以下の自然数は624個

(3) 4桁の偶数は300個