三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたときに、指定された辺の長さを求めます。 (1) $b = 4, c = \sqrt{3}, A = 30^\circ$ のとき、$a$ を求めます。 (2) $a = \sqrt{3}, c = \sqrt{6}, B = 135^\circ$ のとき、$b$ を求めます。 (3) $a = 3\sqrt{3}, b = 2, C = 150^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

はい、承知しました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたときに、指定された辺の長さを求めます。

(1) $b = 4, c = \sqrt{3}, A = 30^\circ$ のとき、$a$ を求めます。

(2) $a = \sqrt{3}, c = \sqrt{6}, B = 135^\circ$ のとき、$b$ を求めます。

(3) $a = 3\sqrt{3}, b = 2, C = 150^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $a$ を求めます。

余弦定理は $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$ です。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cos{30^\circ}$

$a^2 = 16 + 3 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 19 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 19 - 12 = 7$

$a = \sqrt{7}$

(2) 余弦定理を用いて $b$ を求めます。

余弦定理は $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$ です。

与えられた値を代入すると、

$b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cos{135^\circ}$

$b^2 = 3 + 6 - 2\sqrt{18} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 9 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 9 + 6 = 15$

$b = \sqrt{15}$

(3) 余弦定理を用いて $c$ を求めます。

余弦定理は $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ です。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cos{150^\circ}$

$c^2 = 27 + 4 - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 31 + 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 31 + 18 = 49$

$c = 7$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{7}$

(2) $b = \sqrt{15}$

(3) $c = 7$