三角形の2辺の長さ $a=2$, $b=3$ とその間の角 $C=150^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の2辺の長さ $a=2$, $b=3$ とその間の角 $C=150^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$c$ を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

与えられた値を代入します。

$c^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos{150^\circ}$

$\cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるので、

$c^2 = 4 + 9 - 12 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 13 + 6\sqrt{3}$

$c = \sqrt{13 + 6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{13+6\sqrt{3}}$