点Cから点Dまでの船の移動時間、$\angle CAD$ の$\sin$ と$\cos$の値が与えられたとき、$CD$、$\triangle ACD$の面積、$xy$の値、$x^2+y^2$の値、そして$x+y$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

点Cから点Dまでの船の移動時間、$\angle CAD$ の$\sin$ と$\cos$の値が与えられたとき、$CD$、$\triangle ACD$の面積、$xy$の値、$x^2+y^2$の値、そして$x+y$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、船の速さを $v$ とすると、$AH = \frac{12}{5}v$ と表せる。また、点Cから点Dまでの移動時間は $\frac{21}{5}$ 分なので、$CD = \frac{21}{5}v$ と表せる。

よって、$\frac{CD}{AH} = \frac{\frac{21}{5}v}{\frac{12}{5}v} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$

したがって、$CD = \frac{7}{4}AH$

次に、$\triangle ACD$ の面積を求める。

$\triangle ACD = \frac{1}{2}AC \cdot AD \sin \angle CAD = \frac{1}{2}xy\sin\theta = \frac{1}{2}xy\frac{7}{25} = \frac{7}{50}xy$

$\triangle ACD$ の面積を、AC=x、AD=yを用いて表す。

$\triangle ACD = \frac{1}{2}xy\sin \theta = \frac{1}{2}xy \cdot \frac{7}{25}$

$\angle CAD = \theta$ として、$\cos \theta = \frac{24}{25}$ である。

$\triangle ACD$ の面積は $\frac{1}{2} xy \sin \theta = \frac{7xy}{50}$

余弦定理より、$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 AC \cdot AD \cos \theta$

$CD^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \theta = x^2 + y^2 - 2xy \frac{24}{25}$

また、$CD = \frac{7}{4} AH$ であるから、$CD = \frac{21}{5} v$

さらに、$AH = \frac{12}{5}v$と与えられているので、$v$を消去すると、$AH = \frac{12}{21}CD = \frac{4}{7}CD$

$CD^2 = (\frac{21}{5}v)^2$, $AH = \frac{12}{5}v$と与えられているので、$\frac{CD}{AH} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$となる。

$\sin \theta = \frac{7}{25}$、$\cos \theta = \frac{24}{25}$より、

$CD^2 = x^2 + y^2 - 2xy\frac{24}{25}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} xy \sin \theta$

$\triangle ACD = \frac{7}{50}xy$

余弦定理より

$CD^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos \theta$

$CD^2 = x^2 + y^2 - 2xy \frac{24}{25}$

$\frac{CD}{AH} = \frac{7}{4}$より、$CD = \frac{7}{4} (\frac{12}{5}v) = \frac{21}{5}v$

$CD = \frac{21}{5}v$より、$CD = \frac{21}{5}v$

$CD = \frac{21}{5} AH = \frac{21}{5}\times\frac{12}{5}v = \frac{252}{25}$

$xy - 6 = 0$

$xy = 6$

$CD^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos \theta = x^2 + y^2 - 2\cdot 6 \cdot \frac{24}{25} = x^2+y^2 - \frac{288}{25}$

$x^2+y^2 = 25$

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = 25 + 2(6) = 37$

$x+y = \sqrt{37} \approx 6$

$CD = AH\times7/4=7$

$\triangle ACD = \frac{7}{50}\times6=12$

$xy - 6=0$ より $xy=6$

$x^2+y^2=25$

$x+y = 7$

3. 最終的な答え

ソ: 7

タ: 4

チッ: 6

テト: 50

ナ: 6

ニ: 25

ヌ: 7