座標平面上の3点P(1, 2), Q(3, -2), R(4, 1)を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標を全て求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上の3点P(1, 2), Q(3, -2), R(4, 1)を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

平行四辺形となるためには、向かい合う辺が平行で長さが等しい必要があります。

与えられた3点 P, Q, R から考えられる平行四辺形は3種類あります。それぞれの場合について、残りの頂点の座標を求めます。

(1) PQを1つの辺とする場合：

このとき、残りの頂点をSとすると、$\vec{PS} = \vec{QR}$ または $\vec{PS} = \vec{RQ}$ が成り立ちます。

$\vec{QR} = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$ より、$\vec{PS} = (1, 3)$ となる S は $S = (1+1, 2+3) = (2, 5)$ です。

$\vec{RQ} = (3-4, -2-1) = (-1, -3)$ より、$\vec{PS} = (-1, -3)$ となる S は $S = (1-1, 2-3) = (0, -1)$ です。

このとき、PQRSが平行四辺形となるのは、$\vec{PS}=\vec{QR}$のときなので、S(2, 5)です。

別のパターンとして、SPQRが平行四辺形となる時を考えると、$\vec{PQ} = \vec{RS}$より、

$\vec{PQ} = (3-1, -2-2) = (2, -4)$より、$S = (4-2, 1-(-4)) = (2, 5)$.

以上より、この場合のSは(2, 5)と(0, -1)があります。

(2) PRを1つの辺とする場合：

このとき、残りの頂点をTとすると、$\vec{PT} = \vec{RQ}$ または $\vec{PT} = \vec{QR}$ が成り立ちます。

$\vec{RQ} = (3-4, -2-1) = (-1, -3)$ より、$\vec{PT} = (-1, -3)$ となる T は $T = (1-1, 2-3) = (0, -1)$ です。

$\vec{QR} = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$ より、$\vec{PT} = (1, 3)$ となる T は $T = (1+1, 2+3) = (2, 5)$ です。

このとき、PRTQが平行四辺形となるのは、$\vec{PT} = \vec{QR}$のときなので、T(2, 5)です。

別のパターンとして、TPRQが平行四辺形となる時を考えると、$\vec{PR} = \vec{QT}$より、

$\vec{PR} = (4-1, 1-2) = (3, -1)$より、$T = (3-3, -2-(-1)) = (0, -1)$.

以上より、この場合のTは(0, -1)と(2, 5)があります。

(3) QRを1つの辺とする場合：

このとき、残りの頂点をUとすると、$\vec{QU} = \vec{RP}$ または $\vec{QU} = \vec{PR}$ が成り立ちます。

$\vec{RP} = (1-4, 2-1) = (-3, 1)$ より、$\vec{QU} = (-3, 1)$ となる U は $U = (3-3, -2+1) = (0, -1)$ です。

$\vec{PR} = (4-1, 1-2) = (3, -1)$ より、$\vec{QU} = (3, -1)$ となる U は $U = (3+3, -2-1) = (6, -3)$ です。

このとき、QRPUが平行四辺形となるのは、$\vec{QU}=\vec{PR}$のときなので、U(6, -3)です。

別のパターンとして、UQRPが平行四辺形となる時を考えると、$\vec{QR} = \vec{PU}$より、

$\vec{QR} = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$より、$U = (1+1, 2+3) = (2, 5)$.

以上より、この場合のUは(6, -3)と(2, 5)があります。

$\vec{PQ} = (2, -4)$, $\vec{PR} = (3, -1)$, $\vec{QR} = (1, 3)$

残りの頂点をX(x, y)とする。

Pを始点とすると、$\vec{PX} = \vec{PR} + \vec{PQ} = (5, -5)$となり、X(6, -3)

Qを始点とすると、$\vec{QX} = \vec{QP} + \vec{QR} = (-2, 4) + (1, 3) = (-1, 7)$となり、X(2, 5)

Rを始点とすると、$\vec{RX} = \vec{RQ} + \vec{RP} = (-1, -3) + (-3, 1) = (-4, -2)$となり、X(0, -1)

3. 最終的な答え

(0, -1), (2, 5), (6, -3)