与えられた連立微分方程式について、以下の問いに答えます。 (1) 連立微分方程式を $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$ の形で表現する。 (2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。 (3) 連立微分方程式の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立微分方程式について、以下の問いに答えます。

(1) 連立微分方程式を $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$ の形で表現する。

(2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。

(3) 連立微分方程式の一般解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$ の形に表現する。

与えられた連立微分方程式は以下の通りです。

$\frac{dx_1}{dt} = x_1 - x_2 - x_3$

$\frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 - x_3$

$\frac{dx_3}{dt} = 2x_1 - x_2$

したがって、$A$ と $\mathbf{x}$ は以下のようになります。

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & -1 \\ 2 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$

$(1-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 1) + (-1)(-\lambda + 2) - 1(-1 - 2(1-\lambda)) = 0$

$(1-\lambda)(-\lambda+\lambda^2 - 1) + \lambda - 2 + 1 + 2 - 2\lambda = 0$

$-\lambda+\lambda^2-1+\lambda^2-\lambda^3+\lambda + \lambda - 2 + 1 + 2 - 2\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 2\lambda^2 - 2\lambda = 0$

$-\lambda(\lambda^2 - 2\lambda + 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1 + i, \lambda_3 = 1 - i$ です。

固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 0$ のとき、$(A - 0I)\mathbf{v} = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_1 - v_2 - v_3 = 0$

$v_1 + v_2 - v_3 = 0$

$2v_1 - v_2 = 0$

$v_1 = \frac{1}{2} v_2$

$\frac{1}{2} v_2 - v_2 - v_3 = 0 \implies -\frac{1}{2} v_2 = v_3$

$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 1 + i$ のとき、$(A - (1+i)I)\mathbf{v} = 0$

$\begin{pmatrix} -i & -1 & -1 \\ 1 & -i & -1 \\ 2 & -1 & -1-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-iv_1 - v_2 - v_3 = 0$

$v_1 - iv_2 - v_3 = 0$

$2v_1 - v_2 - (1+i)v_3 = 0$

第一式と第二式から $-iv_1 - v_2 = v_1 - iv_2$

$v_2 = \frac{1+i}{1-i} v_1 = i v_1$

$-iv_1 - iv_1 - v_3 = 0 \implies v_3 = -2iv_1$

$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -2i \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 1 - i$ のとき、$\mathbf{v}_3 = \overline{\mathbf{v}_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ 2i \end{pmatrix}$

(3) 連立微分方程式の一般解を求める。

一般解は $\mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{v}_2 + c_3 e^{\lambda_3 t} \mathbf{v}_3$ で与えられます。

$\mathbf{x}(t) = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(1+i)t} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -2i \end{pmatrix} + c_3 e^{(1-i)t} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ 2i \end{pmatrix}$

$\mathbf{x}(t) = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 e^{t}(\cos t + i\sin t) \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -2i \end{pmatrix} + c_3 e^{t}(\cos t - i\sin t) \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ 2i \end{pmatrix}$

$x_1(t) = c_1 + e^t (c_2 (\cos t + i\sin t) + c_3 (\cos t - i\sin t))$

$x_2(t) = 2c_1 + e^t (c_2 (i\cos t - \sin t) + c_3 (-i\cos t - \sin t))$

$x_3(t) = -c_1 + e^t (c_2 (-2i\cos t + 2\sin t) + c_3 (2i\cos t + 2\sin t))$

別の定数を用いて表現すると

$x_1(t) = c_1 + e^t (C_2 \cos t + C_3 \sin t)$

$x_2(t) = 2c_1 + e^t (-C_3 \cos t + C_2 \sin t)$

$x_3(t) = -c_1 + e^t (2C_3 \cos t - 2C_2 \sin t)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}$

(2) 固有値: $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1+i, \lambda_3 = 1-i$

固有ベクトル: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -2i \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ 2i \end{pmatrix}$

(3) 一般解:

$x_1(t) = c_1 + e^t (C_2 \cos t + C_3 \sin t)$

$x_2(t) = 2c_1 + e^t (-C_3 \cos t + C_2 \sin t)$

$x_3(t) = -c_1 + e^t (2C_3 \cos t - 2C_2 \sin t)$

ここで、$c_1, C_2, C_3$ は任意の定数です。