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与えられた関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

解析学導関数合成関数の微分逆三角関数微分
2025/6/1

1. 問題の内容

与えられた関数 y=sin⁡−11−x2y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} の導関数 dydx\frac{dy}{dx} を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる必要があります。
まず、u=1−x2u = \sqrt{1-x^2} とおくと、y=sin⁡−1uy = \sin^{-1}u となります。
したがって、連鎖律により dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} となります。
まず、dydu\frac{dy}{du} を計算します。
y=sin⁡−1uy = \sin^{-1}u の導関数は dydu=11−u2\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} です。
次に、dudx\frac{du}{dx} を計算します。
u=1−x2=(1−x2)12u = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}} の導関数は、
dudx=12(1−x2)−12⋅(−2x)=−x1−x2\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} です。
dydx=dydu⋅dudx=11−u2⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} に、 u=1−x2u = \sqrt{1-x^2} を代入します。
dydx=11−(1−x2)⋅−x1−x2=1x2⋅−x1−x2=1∣x∣⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}
ここで、x>0x > 0 のとき ∣x∣=x|x| = x なので、 dydx=1x⋅−x1−x2=−11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} となります。
また、x<0x < 0 のとき ∣x∣=−x|x| = -x なので、 dydx=1−x⋅−x1−x2=11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} となります。
最終的に、
$\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & (x > 0) \\
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & (x < 0)
\end{cases}$
と表すことができます。

3. 最終的な答え

dydx=−x∣x∣1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{|x|\sqrt{1-x^2}}
または
$\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & (x > 0) \\
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & (x < 0)
\end{cases}$

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