$x, y, z$ は実数とする。 $xy = yz = zx = 0$ は $x = y = z = 0$ であるための何条件かを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$x, y, z$ は実数とする。

$xy = yz = zx = 0$ は $x = y = z = 0$ であるための何条件かを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、必要条件と十分条件の定義を確認します。

* $P$ が $Q$ であるための**十分条件**であるとは、$P$ が真ならば必ず $Q$ が真となること、つまり $P \implies Q$ が成り立つことです。

* $P$ が $Q$ であるための**必要条件**であるとは、$Q$ が真ならば必ず $P$ が真となること、つまり $Q \implies P$ が成り立つことです。

ここで、$P$ を $xy = yz = zx = 0$、$Q$ を $x = y = z = 0$ とします。

(1) $Q \implies P$ (必要条件かどうかの確認)

$x = y = z = 0$ のとき、$xy = 0$, $yz = 0$, $zx = 0$ が成り立つので、$xy = yz = zx = 0$ は真となります。したがって、$Q \implies P$ は成り立ちます。つまり、$xy = yz = zx = 0$ は $x = y = z = 0$ であるための必要条件です。

(2) $P \implies Q$ (十分条件かどうかの確認)

$xy = yz = zx = 0$ のとき、必ず $x = y = z = 0$ が成り立つとは限りません。例えば、$x = 0, y = 1, z = 0$ のとき、$xy = 0 \times 1 = 0$, $yz = 1 \times 0 = 0$, $zx = 0 \times 0 = 0$ となり、$xy = yz = zx = 0$ は成り立ちますが、$x = y = z = 0$ は成り立ちません。したがって、$P \implies Q$ は成り立ちません。つまり、$xy = yz = zx = 0$ は $x = y = z = 0$ であるための十分条件ではありません。

したがって、$xy = yz = zx = 0$ は $x = y = z = 0$ であるための必要条件であるが十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件であるが十分条件ではない