数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2n + 4$ および初期条件 $a_1 = 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n - 2n + 4$ および初期条件 $a_1 = 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を書き下して、隣り合う項の差を考えます。

$a_{n+1} - a_n = -2n + 4$

次に、$n = 1$ から $n = k-1$ までの和をとります。

$\sum_{n=1}^{k-1} (a_{n+1} - a_n) = \sum_{n=1}^{k-1} (-2n + 4)$

左辺はtelescoping sumになるので、

$a_k - a_1 = \sum_{n=1}^{k-1} (-2n + 4)$

$a_k = a_1 + \sum_{n=1}^{k-1} (-2n + 4)$

$a_1 = 1$ なので、

$a_k = 1 + \sum_{n=1}^{k-1} (-2n + 4)$

$\sum_{n=1}^{k-1} (-2n + 4) = -2\sum_{n=1}^{k-1} n + \sum_{n=1}^{k-1} 4 = -2 \cdot \frac{(k-1)k}{2} + 4(k-1) = -k^2 + k + 4k - 4 = -k^2 + 5k - 4$

したがって、

$a_k = 1 + (-k^2 + 5k - 4) = -k^2 + 5k - 3$

$n$ に置き換えて、一般項は $a_n = -n^2 + 5n - 3$ となります。

$n=1$のとき、$a_1 = -1 + 5 - 3 = 1$ となり、初期条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = -n^2 + 5n - 3$