$a$ を実数とします。2つの2次方程式 $ax^2 - 4x + 2a = 0$ $x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 2つの方程式がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) さらに、$a$ が整数であるとき、2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解をもつような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を実数とします。2つの2次方程式

$ax^2 - 4x + 2a = 0$

$x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$

について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの方程式がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) さらに、$a$ が整数であるとき、2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解をもつような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの方程式がともに実数解をもつ条件を求める。

* 1つ目の式 $ax^2 - 4x + 2a = 0$ について：

* $a=0$ のとき、$-4x=0$ となり、$x=0$ は実数解なので、$a=0$ は条件を満たす。

* $a \neq 0$ のとき、判別式を $D_1$ とすると、

$D_1/4 = (-2)^2 - a(2a) = 4 - 2a^2 \ge 0$

$2a^2 \le 4$

$a^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$

* 2つ目の式 $x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ について：

判別式を $D_2$ とすると、

$D_2/4 = (-a)^2 - (2a^2 - 2a - 3) = a^2 - 2a^2 + 2a + 3 = -a^2 + 2a + 3 \ge 0$

$a^2 - 2a - 3 \le 0$

$(a - 3)(a + 1) \le 0$

$-1 \le a \le 3$

* したがって、両方の式が実数解を持つ条件は、$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$ と $-1 \le a \le 3$ を同時に満たす必要がある。

$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$ より $-1.414... \le a \le 1.414...$

$-1 \le a \le 3$

両方を満たす範囲は、$-1 \le a \le \sqrt{2}$ となる。

(2) 2つの方程式がともに少なくとも1つの正の実数解を持つ条件を求める。

* $ax^2 - 4x + 2a = 0$ について：

* $a=0$ のとき、$-4x=0$ より $x=0$ となり、正の解を持たない。

* $a \neq 0$ のとき、解の公式より

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8a^2}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2a^2}}{a}$

正の解を持つには、$4-2a^2 \ge 0$ が必要であり、$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$ である。

また、少なくとも１つの解が正であるためには、少なくとも一方の解が正であればよい。

$a>0$ のとき、$2 + \sqrt{4-2a^2} > 0$ より、常に正の解を持つ。

$a<0$ のとき、$2 - \sqrt{4-2a^2} > 0$ であればよい。

$2 > \sqrt{4-2a^2}$

$4 > 4-2a^2$

$2a^2 > 0$

$a \neq 0$

したがって、$-\sqrt{2} \le a < 0$ または $0 < a \le \sqrt{2}$ の範囲で、実数解を持つとき、必ず正の解を持つ。

* $x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a - 3 = 0$ について：

解の公式より

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(2a^2 - 2a - 3)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{-4a^2 + 8a + 12}}{2} = a \pm \sqrt{-a^2 + 2a + 3}$

正の解を持つには、$-a^2 + 2a + 3 \ge 0$ が必要であり、$-1 \le a \le 3$ である。

また、少なくとも１つの解が正であるためには、$a + \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ であるか、$a - \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ であればよい。

$a - \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$

$a > \sqrt{-a^2 + 2a + 3}$

$a^2 > -a^2 + 2a + 3$

$2a^2 - 2a - 3 > 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

$a < \frac{1-\sqrt{7}}{2}$ または $a > \frac{1+\sqrt{7}}{2}$

$\frac{1-\sqrt{7}}{2} \approx -0.82$

$\frac{1+\sqrt{7}}{2} \approx 1.82$

* $a$ が整数である条件を考慮すると、

$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$ より、$a = -1, 0, 1$ である。

$-1 \le a \le 3$ より、$a = -1, 0, 1, 2, 3$ である。

$a$ が整数の場合、両方の条件を満たすのは、$a=-1, 0, 1$ である。

$a=-1$ のとき、$x^2 + 2x + 1 = 0$ より $(x+1)^2=0$ であり、$x=-1$ となり正の解を持たない。また、$ax^2 - 4x + 2a = 0$に代入すると、$-x^2 -4x -2=0$となる。解は、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{-2}=-2 \pm \sqrt{2}$でどちらも負である。したがって、$a=-1$は不適。

$a=0$ のとき、$ax^2 - 4x + 2a = 0$ は $-4x = 0$ より、$x=0$ となり正の解を持たない。したがって、$a=0$は不適。

$a=1$ のとき、$x^2 - 4x + 2 = 0$ より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$ であり、ともに正の解を持つ。また、$x^2 - 2x - 3 = 0$ より、$(x-3)(x+1) = 0$ なので、$x = 3, -1$ となり正の解を持つ。したがって、$a=1$は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le a \le \sqrt{2}$

(2) $a = 1$