数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 0$ および漸化式 $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 0$ および漸化式 $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$2a_{n+1} - 3a_n = 1$ より、

$2a_{n+1} = 3a_n + 1$

$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{1}{2}$

次に、特性方程式を解きます。

$x = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}$

$x = -1$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1)$

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n$

これは等比数列であり、$b_1 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$ なので、

$b_n = 1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = b_n - 1$ なので、

$a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$