与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。問題は (1) と (2) の2つの部分に分かれています。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 7$ (2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 7a_n - 12$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。問題は (1) と (2) の2つの部分に分かれています。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 7$

(2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 7a_n - 12$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 7$ を解く手順

特性方程式 $x = 2x + 7$ を解くと $x = -7$

$a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7)$

$b_n = a_n + 7$ と置くと, $b_{n+1} = 2b_n$

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 + 7 = 1 + 7 = 8$, 公比 2 の等比数列である。

よって $b_n = 8 \cdot 2^{n-1} = 2^3 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+2}$

$a_n = b_n - 7 = 2^{n+2} - 7$

(2) $a_{n+1} = 7a_n - 12$ を解く手順

特性方程式 $x = 7x - 12$ を解くと $6x = 12$, $x = 2$

$a_{n+1} - 2 = 7(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ と置くと, $b_{n+1} = 7b_n$

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$, 公比 7 の等比数列である。

よって $b_n = 3 \cdot 7^{n-1}$

$a_n = b_n + 2 = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n+2} - 7$

(2) $a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$