数列 $\{a_n\}$ が、初期条件 $a_1 = 0$ と漸化式 $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初期条件 $a_1 = 0$ と漸化式 $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $a_{n+1}$ について解きます。

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2a_{n+1} = 3a_n + 1

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a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{1}{2}

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次に、この漸化式を特性方程式を用いて解きます。特性方程式は

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x = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}

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これを解くと、

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-\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}

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x = -1

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よって、漸化式は次のように変形できます。

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a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1)

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数列 $\{a_n + 1\}$ は、初項 $a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列です。したがって、

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a_n + 1 = 1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}

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a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1

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3. 最終的な答え

$a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$