関数 $y = ax + b$ (定義域 $-1 \le x \le 5$) の値域が $1 \le y \le 13$ となるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ (定義域 $-1 \le x \le 5$) の値域が $1 \le y \le 13$ となるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ なので、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。つまり、$x$ が最小値をとるとき $y$ は最大値をとり、$x$ が最大値をとるとき $y$ は最小値をとる。したがって、

$x = -1$ のとき $y = 13$

$x = 5$ のとき $y = 1$

となる。この2つの条件を連立方程式として解く。

$x = -1, y = 13$ を $y = ax + b$ に代入すると、

$13 = -a + b$

$x = 5, y = 1$ を $y = ax + b$ に代入すると、

$1 = 5a + b$

上記の2式から連立方程式を解く。

まず、2つの式を引き算すると、

$13 - 1 = (-a + b) - (5a + b)$

$12 = -6a$

$a = -2$

$a = -2$ を $13 = -a + b$ に代入すると、

$13 = -(-2) + b$

$13 = 2 + b$

$b = 11$

よって、$a = -2, b = 11$

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 11$