底面が1辺2cmの正三角形ABCであり、OA=OB=OC=4cmである正三角錐OABCがある。辺OB上に点Pをとるとき、以下の2つの問題に答えよ。 (1) AP+PCの長さが最短になるように点Pを結ぶとき、AP+PCの長さを求めよ。 (2) (1)のとき、三角錐PABCの体積を求めよ。

1. 問題の内容

底面が1辺2cmの正三角形ABCであり、OA=OB=OC=4cmである正三角錐OABCがある。辺OB上に点Pをとるとき、以下の2つの問題に答えよ。

(1) AP+PCの長さが最短になるように点Pを結ぶとき、AP+PCの長さを求めよ。

(2) (1)のとき、三角錐PABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AP+PCの長さが最短になるように点Pを結ぶ場合、三角錐OABCの展開図を考える。展開図において、点Aと点Cを結んだ線分が線分OBと交わる点が点Pとなる。

展開図において、三角形OABと三角形OBCは合同な二等辺三角形であり、OA=OB=OC=4cm、AB=BC=2cmである。三角形ABCは正三角形であるので、∠ABC = 60°である。

展開図において、∠OBA=∠OBCである。余弦定理より、

$2^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \times 4 \times 4 \times cos ∠OBA$

$4 = 16 + 16 - 32 cos ∠OBA$

$32 cos ∠OBA = 28$

$cos ∠OBA = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$

したがって、∠OBA = $arccos(\frac{7}{8})$

展開図において、∠ABC = 60°であるので、∠OBA+∠OBC = 60°である。よって、∠OBA = 30°

三角形OCAにおいて、OA=OC=4cm, AC=2cmであるので、

$2^2 = 4^2+4^2 - 2*4*4*cos∠AOC$

$4 = 32 - 32cos∠AOC$

$32cos∠AOC = 28$

$cos∠AOC = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$

展開図において、AP+PCの長さは、ACを結んだ線分の長さである。三角形OABと三角形OBCは合同なので、展開図において、O, A, Cは一直線上にない。

三角形OACにおいて、OA=OC=4, ACを求める。∠AOC=2∠AOBとする。

$AP+PC = AC = \sqrt{4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos (2 \arccos(7/8))}$

$AC = \sqrt{32 - 32 (2 \cos^2(\arccos(7/8)) - 1)} = \sqrt{32 - 32 (2(7/8)^2 - 1)}$

$AC = \sqrt{32 - 32 (2(49/64) - 1)} = \sqrt{32 - 32 (49/32 - 1)} = \sqrt{32 - (49-32)} = \sqrt{32 - 17} = \sqrt{15}$

したがって、AP+PC = $\sqrt{15}$ cm

(2)

まず、四面体OABCの体積を求める。

底面積は、$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ} = \sqrt{3}$

点Oから底面に下ろした垂線の足をHとする。Hは三角形ABCの中心である。

AH=$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

$OH = \sqrt{4^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{16 - \frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{144-12}{9}} = \sqrt{\frac{132}{9}} = \frac{2\sqrt{33}}{3}$.

四面体OABCの体積は、$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{33}}{3} = \frac{2\sqrt{11}}{3}$

次に、BP:POを求める。

$\frac{BP}{BO} = \frac{AP \cdot \sin(\angle PAB)}{AB} \approx \frac{\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \sin(\angle PAB)}{2}$

$\frac{BP}{4} = \frac{AC}{OA+OC} = \frac{\sqrt{15}}{4+4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$, $BP = \frac{4\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

PABCの体積は、OABCの体積の$\frac{BP}{BO}$倍である。

$\frac{BP}{BO} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

したがって、PABCの体積は、$\frac{2\sqrt{11}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{165}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) AP+PC = $\sqrt{15}$ cm

(2) 三角錐PABCの体積 = $\frac{\sqrt{165}}{12}$ cm$^3$