$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

## 問題21(1)

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-2| < a$ を解く。

これは $-a < x-2 < a$ と同値である。

したがって、$2-a < x < 2+a$ となる。

この不等式を満たす整数 $x$ が5個存在するということは、$x$ が整数であるため、

$x = 2-2, 2-1, 2, 2+1, 2+2$, つまり $x = 0, 1, 2, 3, 4$ となることが考えられる。

このとき、$2-a < 0$ かつ $4 < 2+a$ となる必要がある。

さらに、$2-a \ge -1$ または $5 \ge 2+a$ が成立すると、整数解が6個以上になってしまうので、$2-a \ge -1$ および $5 \ge 2+a$ は成立しない必要がある。

$x$が0,1,2,3,4の5つの整数であるためには

$-1 \le 2-a < 0$ かつ $4 < 2+a \le 5$

である必要がある。

それぞれの不等式を解く。

まず、$-1 \le 2-a < 0$ より、

$-3 \le -a < -2$

$2 < a \le 3$

次に、$4 < 2+a \le 5$ より、

$2 < a \le 3$

これらを合わせた範囲は $2 < a \le 3$ となる。

3. 最終的な答え

$2 < a \le 3$

## 問題21(2)

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|x - \frac{1}{4}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x - \frac{1}{4}| < a$ を解く。

これは $-a < x - \frac{1}{4} < a$ と同値である。

したがって、$\frac{1}{4} - a < x < \frac{1}{4} + a$ となる。

この不等式を満たす整数 $x$ が5個存在するということは、

$x$ が整数であるため、その5つの整数を $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ とすると、

$\frac{1}{4} - a < n$ かつ $n+4 < \frac{1}{4} + a$

を満たす必要がある。

また、$n-1 \le \frac{1}{4} - a$ または $\frac{1}{4} + a \le n+5$ が成立すると、整数解が6個以上になってしまうので、$n-1 \le \frac{1}{4} - a$ および $\frac{1}{4} + a \le n+5$ は成立しない必要がある。

したがって、$n-1 > \frac{1}{4} - a$ かつ $n+4 < \frac{1}{4} + a$ の必要がある。

$n-1 > \frac{1}{4} - a$ より、$a > \frac{5}{4} - n$

$n+4 < \frac{1}{4} + a$ より、$a > n + \frac{15}{4}$

また、$n \le x < n+1$ となるような整数 $x$ が5つ存在するので、

$\frac{1}{4} - a < n$ かつ $n+4 < \frac{1}{4} + a < n+5$である。

$n-1 \le \frac{1}{4} -a$ および $n+5 \le \frac{1}{4} + a$ を満たしてはならない。

$n - \frac{1}{4} < a < n+1 - \frac{1}{4}$とすると、5つの解が存在するとき

$n - \frac{1}{4} < a \le n - \frac{5}{4}$ である。

整数xがn,n+1,n+2,n+3,n+4の5つであるとき、aの条件は

$n+4 < \frac{1}{4} + a < n+5$ かつ $n-1 < \frac{1}{4} - a < n$ となる。

この条件を変形すると

$n + \frac{15}{4} < a < n + \frac{19}{4}$ である。

解が5個となる条件は

$\frac{1}{4}-a < n < n+1 < n+2 < n+3 < n+4 < \frac{1}{4}+a$である。

$x$の整数解が5個であるとき、

$n + \frac{15}{4} < a \le n + \frac{19}{4} \qquad \text{for some } n \in \mathbb{Z}$.

$n \le \frac{1}{4} + a < n+5$

$a=n+4+\frac{1}{4}$とすると、$x$は$n,n+1,n+2,n+3,n+4$の5個だから、$x \in (n, n+5)$.

$5-1/4 < a$. $19/4 = 4.75$.

整数解 $x$ が5個であるための条件は、$n$を整数として

$n+4-\frac{1}{4} = n + \frac{15}{4} < a \le n+5-\frac{1}{4} = n + \frac{19}{4}$.

このとき $x = n, n+1, n+2, n+3, n+4$ が解となる。

特に、一番小さい解が $n = -2$ の場合、$(-2, -1, 0, 1, 2)$ が解となり、

$\frac{15}{4} - 2 < a \le \frac{19}{4} - 2$

$\frac{7}{4} < a \le \frac{11}{4}$.

$a=2.75$のとき、解は$(-2.5 < x < 3)$ で整数解は-2,-1,0,1,2,3の6個となり条件を満たさない。

3.75<a <= 4.75

x-1/4 = aとなる整数xが5個の場合

n, n+1, n+2, n+3, n+4

$\frac{5}{2} - \frac{1}{4} < a < \frac{15}{4}+\frac{1}{4}$

$\frac{15}{4} < a \le \frac{19}{4}$.

3. 最終的な答え

$\frac{7}{4} < a \le \frac{11}{4}$