正八角形について、以下の個数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正八角形について、以下の個数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正八角形の8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式で計算できます。

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{}_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56

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(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

正八角形の8個の頂点から4個を選ぶ組み合わせを考えます。

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{}_{8}C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 2 \times 5 = 70

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(3) 対角線の本数

正八角形の頂点の数は8です。対角線は、ある頂点から自分自身とその隣の頂点を除くすべての頂点に引けます。したがって、各頂点からは5本の対角線が引けます。頂点の数は8なので、 $8 \times 5 = 40$ 本の対角線が引けるように見えますが、これは各対角線を2回数えているため、2で割る必要があります。

または、8個の頂点から2個を選ぶ組み合わせから、正八角形の辺の数を引くことでも求めることができます。8個の頂点から2個を選ぶ組み合わせは、

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{}_{8}C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

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正八角形の辺の数は8なので、対角線の本数は $28 - 8 = 20$ 本となります。

各頂点から引ける対角線の数は $8-3=5$ 本です。

対角線の総数は $(8 \times 5)/2 = 20$ 本です。

3. 最終的な答え

(1) 56個

(2) 70個

(3) 20本