点A(-1, 1)と点B(3, 5)が与えられています。直線$y = x$上にある点Pで、AP = BPを満たす点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-1, 1)と点B(3, 5)が与えられています。直線$y = x$上にある点Pで、AP = BPを満たす点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pは直線$y=x$上にあるので、点Pの座標を $(t, t)$ とおくことができます。

AP = BP という条件から、$AP^2 = BP^2$ が成り立ちます。点の間の距離の公式を使って、$AP^2$と$BP^2$を計算します。

$AP^2 = (t - (-1))^2 + (t - 1)^2 = (t + 1)^2 + (t - 1)^2$

$BP^2 = (t - 3)^2 + (t - 5)^2$

$AP^2 = BP^2$ という条件から、次の方程式が得られます。

$(t + 1)^2 + (t - 1)^2 = (t - 3)^2 + (t - 5)^2$

この方程式を解いて、$t$ の値を求めます。

$t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 = t^2 - 6t + 9 + t^2 - 10t + 25$

$2t^2 + 2 = 2t^2 - 16t + 34$

$2 = -16t + 34$

$16t = 32$

$t = 2$

したがって、点Pの座標は $(2, 2)$ です。

3. 最終的な答え

点Pの座標は (2, 2) です。