関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ が与えられており、区間 $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。また、同じ区間における最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ が与えられており、区間 $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。また、同じ区間における最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最小値の求め方：

与えられた関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ を平方完成する。

$y = (x - a)^2 + 1$

この関数のグラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(a, 1)$ である。

区間 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めるために、頂点の $x$ 座標 $a$ の位置によって場合分けをする。

* (i) $a < 0$ のとき：

区間 $0 \le x \le 2$ で関数は減少するので、$x = 0$ で最小値をとる。最小値は $y = 0^2 - 2a(0) + a^2 + 1 = a^2 + 1$.

* (ii) $0 \le a \le 2$ のとき：

区間内に頂点があるので、$x = a$ で最小値をとる。最小値は $y = (a - a)^2 + 1 = 1$.

* (iii) $a > 2$ のとき：

区間 $0 \le x \le 2$ で関数は増加するので、$x = 2$ で最小値をとる。最小値は $y = 2^2 - 2a(2) + a^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$.

(2) 最大値の求め方：

与えられた関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ を平方完成した式 $y = (x - a)^2 + 1$ を利用する。

区間 $0 \le x \le 2$ における最大値を求めるために、頂点の $x$ 座標 $a$ の位置によって場合分けをする。

* (i) $a \le 1$ のとき：

$x=2$で最大値をとる。最大値は $y = 2^2 - 2a(2) + a^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$.

* (ii) $a \ge 1$ のとき：

$x=0$で最大値をとる。最大値は $y = 0^2 - 2a(0) + a^2 + 1 = a^2 + 1$.

場合分けをさらに細かくする必要がある。

* $a < 0$ のとき, $x=2$ で最大値: $y = a^2 - 4a + 5$.

* $0 \le a \le 2$ のとき、 $x = 0$ と $x = 2$ で比較する。

* $a^2 + 1$ と $a^2 - 4a + 5$ の大小を比較する。

$a^2 + 1 - (a^2 - 4a + 5) = 4a - 4$.

$4a - 4 > 0$ すなわち $a > 1$ のとき $x=0$ で最大。

$4a - 4 < 0$ すなわち $a < 1$ のとき $x=2$ で最大。

$a = 1$ のとき、$x=0$ でも $x=2$ でも同じ値.

* $a > 2$ のとき, $x=0$ で最大値: $y = a^2 + 1$.

3. 最終的な答え

(1) 最小値：

$a < 0$ のとき、$a^2 + 1$

$0 \le a \le 2$ のとき、$1$

$a > 2$ のとき、$a^2 - 4a + 5$

(2) 最大値：

$a \le 1$ のとき、$a^2 - 4a + 5$

$a \ge 1$ のとき、$a^2 + 1$