放物線 $C: y = x^2 - 5$ と直線 $l: y = m(x-3)$ が異なる2点A, Bで交わっている。 (1) 定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) $m$ の値が変化するとき、2点A, Bの中点M($x$, $y$)の軌跡を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 5$ と直線 $l: y = m(x-3)$ が異なる2点A, Bで交わっている。

(1) 定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) $m$ の値が変化するとき、2点A, Bの中点M($x$, $y$)の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線と直線が異なる2点で交わる条件は、2つの式を連立した方程式が異なる2つの実数解を持つことである。連立方程式を立てると、

$x^2 - 5 = m(x-3)$

$x^2 - mx + 3m - 5 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が条件となる。

$D = m^2 - 4(3m - 5) = m^2 - 12m + 20 > 0$

$(m - 2)(m - 10) > 0$

よって、$m < 2$ または $10 < m$

(2) 2点A, Bの $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とすると、$\alpha$と$\beta$は方程式 $x^2 - mx + 3m - 5 = 0$ の解である。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = m$

中点Mの $x$ 座標は $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{m}{2}$

よって、$m = 2x$

中点Mの $y$ 座標は $y = m(x-3) = 2x(x-3) = 2x^2 - 6x$

また、$y = x^2 - 5$ より

$y = (\alpha^2 - 5 + \beta^2 - 5)/2 = ((\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta - 10)/2$

$= (m^2 - 2(3m-5) - 10)/2 = (m^2 - 6m)/2$

$y = (4x^2 - 12x)/2 = 2x^2 - 6x$

中点Mの座標 $(x, y)$ は $x = \frac{m}{2}$ で、$y = x^2 - 5$ 上にある。

$y = x^2 - 5$ に $x = \frac{m}{2}$ を代入してもいい。

$y = x^2 - 5$ であり、$m < 2$ または $10 < m$ であるから、$x < 1$ または $5 < x$

3. 最終的な答え

(1) $m < 2$, $10 < m$

(2) $y = x^2 - 5$ ($x < 1$, $5 < x$)