与えられた4次式 $A = 4x^4 - 37x^2 + 9$ と $B = 9x^4 - 169x^2 + 400$ を因数分解する問題です。2つの考え方が提示されており、1つ目は $x^2 = X$ と置き換える方法、2つ目は $A = (ax^2+b)^2 - cx^2$ の形に変形する方法です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $A = 4x^4 - 37x^2 + 9$ と $B = 9x^4 - 169x^2 + 400$ を因数分解する問題です。2つの考え方が提示されており、1つ目は $x^2 = X$ と置き換える方法、2つ目は $A = (ax^2+b)^2 - cx^2$ の形に変形する方法です。

2. 解き方の手順

(1) まず、考え方1に従い、$x^2 = X$ とおくと、

$A = 4X^2 - 37X + 9$ となります。

これを因数分解すると、

$A = (4X - 1)(X - 9)$ となります。

よって、ア=4, イ=1, ウ=9

次に、考え方2に従い、$A = (ax^2+b)^2 - cx^2$ の形に変形します。

[1] $b > 0$ の場合、$A = (x^2+b)^2 - cx^2$ とすると、

$A = x^4 + 2bx^2 + b^2 - cx^2 = x^4 + (2b-c)x^2 + b^2$

$A = 4x^4 - 37x^2 + 9$

したがって

$4x^4 - 37x^2 + 9 = (2x^2 + b)^2 - cx^2 = 4x^4 + (4b-c)x^2 + b^2$

$4b - c = -37$

$b^2 = 9$

$b > 0$ より $b=3$

$4(3) - c = -37$

$12 - c = -37$

$c = 12+37 = 49$

よって、オ=3, カキ=49

したがって $A = (2x^2+3)^2 - (7x)^2$

$A = (2x^2 + 3 + 7x)(2x^2 + 3 - 7x)$

$A = (2x^2 + 7x + 3)(2x^2 - 7x + 3)$

$A = (2x + 1)(x + 3)(2x - 1)(x - 3)$

$A = (x + 3)(2x + 1)(x - 3)(2x - 1)$

[2] $b < 0$ の場合、$A = (2x^2+b)^2 - cx^2$ とすると、

$A = (2x^2-b)^2 - cx^2 = 4x^4 + (4b-c)x^2 + b^2$

$4b - c = -37$

$b^2 = 9$

$b < 0$ より $b=-3$

$4(-3) - c = -37$

$-12 - c = -37$

$c = -12+37 = 25$

よって、オ=3, ケコ=25

$A = (2x^2-3)^2 - (5x)^2$

$A = (2x^2 - 3 + 5x)(2x^2 - 3 - 5x)$

$A = (2x^2 + 5x - 3)(2x^2 - 5x - 3)$

$A = (2x - 1)(x + 3)(2x + 1)(x - 3)$

$A = (x + 3)(x - 3)(2x - 1)(2x + 1)$

$A = (x+3)(2x+1)(x-3)(2x-1)$　より

$A=(x+3)(2x-1)(x-3)(2x+1) = (x+3)(2x+1)(x-3)(2x-1)$

ス=3, セ=2, ソ=1, タ=3, チ=3

$A = (x+3)(x-3)(2x-1)(2x+1)$

(2) $B = 9x^4 - 169x^2 + 400$

$B = (3x^2)^2 - 169x^2 + (20)^2$

$B = (3x^2 - 25)(3x^2 - 16)$

$B = (3x - 5)(3x + 5)(3x - 4)(3x + 4)$

$B = (x + 4/3)(x - 4/3)(x + 5/3)(x - 5/3) * 9 * 9$

$B = (3x+5)(3x-5)(3x+4)(3x-4) = (3x+5)(3x-5)(3x+4)(3x-4)$

両辺を9で割ると

$B = (3x+4)(3x-4)(3x+5)(3x-5)$

テ=5, ト=3, ナ=5, 二=4, ヌ=4

B = (3x+5)(3x-5)(3x+4)(3x-4)

3. 最終的な答え

(1) ア=4, イ=1, ウ=9, オ=3, カキ=49, ス=3, セ=2, ソ=1, タ=3, チ=3

(2) テ=5, ト=3, ナ=5, ニ=4, ヌ=4