$i^2 = -1$とし、$\alpha = \cos \frac{5}{12}\pi + i \sin \frac{5}{12}\pi$, $\beta = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} i}{2}$とする。このとき、$|\beta|$、$\alpha^6 \beta$、$\arg \frac{\alpha}{\beta}$、$(\frac{\alpha}{\beta})^n$が実数となるような最小の自然数$n$、そのときの$(\frac{\alpha}{\beta})^n$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$i^2 = -1$とし、$\alpha = \cos \frac{5}{12}\pi + i \sin \frac{5}{12}\pi$, $\beta = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} i}{2}$とする。このとき、$|\beta|$、$\alpha^6 \beta$、$\arg \frac{\alpha}{\beta}$、$(\frac{\alpha}{\beta})^n$が実数となるような最小の自然数$n$、そのときの$(\frac{\alpha}{\beta})^n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず$|\beta|$を計算する。

$|\beta| = \left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} i}{2} \right| = \frac{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2}}{2} = \frac{\sqrt{2 + 6}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

次に$\alpha^6 \beta$を計算する。

$\alpha^6 = (\cos \frac{5}{12}\pi + i \sin \frac{5}{12}\pi)^6 = \cos (\frac{5}{12}\pi \cdot 6) + i \sin (\frac{5}{12}\pi \cdot 6) = \cos \frac{5}{2}\pi + i \sin \frac{5}{2}\pi = \cos \frac{1}{2}\pi + i \sin \frac{1}{2}\pi = i$

$\alpha^6 \beta = i \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i + \sqrt{6} i^2}{2} = \frac{\sqrt{2}i - \sqrt{6}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

次に$\arg \frac{\alpha}{\beta}$を計算する。

$\beta = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} i}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i = \sqrt{2}(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$\arg \beta = \frac{\pi}{3}$

$\arg \alpha = \frac{5}{12}\pi$

$\arg \frac{\alpha}{\beta} = \arg \alpha - \arg \beta = \frac{5}{12}\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{12}\pi - \frac{4}{12}\pi = \frac{1}{12}\pi$

最後に$(\frac{\alpha}{\beta})^n$が実数となるような最小の自然数$n$とそのときの$(\frac{\alpha}{\beta})^n$の値を求める。

$(\frac{\alpha}{\beta})^n = (\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12})^n = \cos \frac{n\pi}{12} + i \sin \frac{n\pi}{12}$

$(\frac{\alpha}{\beta})^n$が実数となるためには$\sin \frac{n\pi}{12} = 0$である必要がある。

$0 \le \frac{n}{12} < 2$

よって$\frac{n\pi}{12} = k\pi$ ($k$は整数)

$n = 12k$

最小の自然数$n$は$n=12$

$(\frac{\alpha}{\beta})^{12} = \cos \frac{12\pi}{12} + i \sin \frac{12\pi}{12} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$

3. 最終的な答え

$|\beta| = \sqrt{2}$

$\alpha^6 \beta = -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

$\arg \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\pi}{12}$

$n = 12$

$(\frac{\alpha}{\beta})^{12} = -1$