3つの直線 $x - 2y = 0$ (1), $3x + 2y - 8 = 0$ (2), $ax - 4y + 3 = 0$ (3) について、以下の問いに答える。 (1) 3つの直線が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める。 (2) 3つの直線が直角三角形を作るような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - 2y = 0$ (1), $3x + 2y - 8 = 0$ (2), $ax - 4y + 3 = 0$ (3) について、以下の問いに答える。

(1) 3つの直線が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める。

(2) 3つの直線が直角三角形を作るような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3つの直線が三角形を作らないのは、以下の3つの場合が考えられる。

(i) 3つの直線が平行である。

(ii) 3つの直線のうち、2つが平行である。

(iii) 3つの直線が1点で交わる。

まず、(1)と(2)の直線の傾きを求める。

(1) より $2y = x$ なので、$y = \frac{1}{2}x$。したがって、傾きは $\frac{1}{2}$。

(2) より $2y = -3x + 8$ なので、$y = -\frac{3}{2}x + 4$。したがって、傾きは $-\frac{3}{2}$。

(3) より $4y = ax + 3$ なので、$y = \frac{a}{4}x + \frac{3}{4}$。したがって、傾きは $\frac{a}{4}$。

(i) 3つの直線が平行である場合: ありえない (傾きがすべて異なるため)

(ii) 3つの直線のうち、2つが平行である場合:

(1)と(3)が平行なとき、$\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$ より $a = 2$。

(2)と(3)が平行なとき、$\frac{a}{4} = -\frac{3}{2}$ より $a = -6$。

(iii) 3つの直線が1点で交わる場合:

(1)と(2)の交点を求める。

$x - 2y = 0$ より $x = 2y$。これを $3x + 2y - 8 = 0$ に代入すると、$3(2y) + 2y - 8 = 0$。

$8y = 8$ より $y = 1$。したがって $x = 2$。

交点は $(2, 1)$。この点が直線(3)上にあるとき、$a(2) - 4(1) + 3 = 0$。

$2a - 1 = 0$ より $a = \frac{1}{2}$。

したがって、三角形を作らないような $a$ の値は、 $a = 2, -6, \frac{1}{2}$。

(2) 3つの直線が直角三角形を作るのは、いずれか2つの直線が垂直な場合である。

2つの直線が垂直であるとき、それぞれの傾きの積が-1になる。

(1)と(2)が垂直なとき、$\frac{1}{2} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{4} \ne -1$ なので垂直ではない。

(1)と(3)が垂直なとき、$\frac{1}{2} \times \frac{a}{4} = -1$ より $\frac{a}{8} = -1$ なので $a = -8$。

(2)と(3)が垂直なとき、$-\frac{3}{2} \times \frac{a}{4} = -1$ より $-\frac{3a}{8} = -1$ なので $a = \frac{8}{3}$。

したがって、直角三角形を作るような $a$ の値は、$a = -8, \frac{8}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, -6, \frac{1}{2}$

(2) $a = -8, \frac{8}{3}$