正七角形の頂点 $A_k$ に積まれたブロックの個数を $a_k$ とする ($k = 1, 2, ..., 7$)。 $a_k$ はそれぞれ与えられている。隣接する頂点間でブロックを移動させる操作を繰り返し、全ての頂点にあるブロックの個数を等しくすることが目的である。 (1) $z_k = x_k - y_k$ とおく時、$z_k$ ($2 \le k \le 7$) を $z_1$ で表す。ここで、$x_k$ は $A_k$ から $A_{k+1}$ へブロックが運ばれた回数、$y_k$ は $A_{k+1}$ から $A_k$ へブロックが運ばれた回数である。ただし、$A_8 = A_1$ とする。 (2) 操作の回数の最小値を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

正七角形の頂点 $A_k$ に積まれたブロックの個数を $a_k$ とする ($k = 1, 2, ..., 7$)。 $a_k$ はそれぞれ与えられている。隣接する頂点間でブロックを移動させる操作を繰り返し、全ての頂点にあるブロックの個数を等しくすることが目的である。

(1) $z_k = x_k - y_k$ とおく時、$z_k$ ($2 \le k \le 7$) を $z_1$ で表す。ここで、$x_k$ は $A_k$ から $A_{k+1}$ へブロックが運ばれた回数、$y_k$ は $A_{k+1}$ から $A_k$ へブロックが運ばれた回数である。ただし、$A_8 = A_1$ とする。

(2) 操作の回数の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、すべての頂点のブロックの個数の合計を計算します。

$24 + 15 + 17 + 13 + 28 + 14 + 29 = 140$

したがって、すべての頂点のブロックの個数が等しくなる時、各頂点には $140/7 = 20$ 個のブロックが存在します。

$z_k = x_k - y_k$ は、頂点 $A_k$ と $A_{k+1}$ の間で、正味で $A_k$ から $A_{k+1}$ へ移動したブロックの個数を示しています。

頂点 $A_k$ にあるブロックの個数の変化は、隣接する頂点からの出入りによって決まります。

$A_1$ に注目すると、$x_7 - y_7 + y_1 - x_1 = a_1 - 20$ となります。これは、$z_7 + (-z_1) = a_1 - 20$ と書き換えられます。

同様に、$A_k$ について、$z_{k-1} - z_k = a_k - 20$ が成り立ちます。（$k=2,3,4,5,6,7$）

これから、$z_k$ を $z_1$ で表していきます。

$z_1 - z_2 = a_2 - 20 = 15 - 20 = -5$ より $z_2 = z_1 + 5$

$z_2 - z_3 = a_3 - 20 = 17 - 20 = -3$ より $z_3 = z_2 + 3 = z_1 + 5 + 3 = z_1 + 8$

$z_3 - z_4 = a_4 - 20 = 13 - 20 = -7$ より $z_4 = z_3 + 7 = z_1 + 8 + 7 = z_1 + 15$

$z_4 - z_5 = a_5 - 20 = 28 - 20 = 8$ より $z_5 = z_4 - 8 = z_1 + 15 - 8 = z_1 + 7$

$z_5 - z_6 = a_6 - 20 = 14 - 20 = -6$ より $z_6 = z_5 + 6 = z_1 + 7 + 6 = z_1 + 13$

$z_6 - z_7 = a_7 - 20 = 29 - 20 = 9$ より $z_7 = z_6 - 9 = z_1 + 13 - 9 = z_1 + 4$

(2) 操作回数の最小値を求める。

ブロックの移動回数は、$x_k + y_k = |z_k| + 2\min(x_k,y_k)$ で表される。移動回数を最小にするには、$z_k$の絶対値の合計を最小化すればよい。

しかし、頂点 $A_1$ に注目したときの式 $z_7 - z_1 = a_1 - 20 = 24 - 20 = 4$ より、$z_7 = z_1 + 4$ という関係があるため、$z_7$ を $z_1$ で表す必要はない。

$z_1 + 4 - z_1 = 4$ となるため、これはすでに満たされている。

したがって、操作の回数の最小値は

$\sum_{k=1}^{7} |a_k - 20| = |24 - 20| + |15 - 20| + |17 - 20| + |13 - 20| + |28 - 20| + |14 - 20| + |29 - 20| = 4 + 5 + 3 + 7 + 8 + 6 + 9 = 42$

3. 最終的な答え

(1)

$z_2 = z_1 + 5$

$z_3 = z_1 + 8$

$z_4 = z_1 + 15$

$z_5 = z_1 + 7$

$z_6 = z_1 + 13$

$z_7 = z_1 + 4$

(2) 42