純粋な物質（例えばH$_2$O）が液体と気体の2つの相で共存している場合を考える。圧力と温度が一定の条件で平衡になっている時、液体の化学ポテンシャル$\mu_L$と気体の化学ポテンシャル$\mu_G$の間の関係を求める。ただし、平衡状態では系のギブズ自由エネルギーの変化$dG = 0$であり、液体と気体の合計モル数は一定である。

1. 問題の内容

純粋な物質（例えばH$_2$O）が液体と気体の2つの相で共存している場合を考える。圧力と温度が一定の条件で平衡になっている時、液体の化学ポテンシャル$\mu_L$と気体の化学ポテンシャル$\mu_G$の間の関係を求める。ただし、平衡状態では系のギブズ自由エネルギーの変化$dG = 0$であり、液体と気体の合計モル数は一定である。

2. 解き方の手順

液体相のモル数を$n_L$、気体相のモル数を$n_G$とする。全モル数$n$は一定なので、

$n = n_L + n_G$

したがって、

$dn_L = -dn_G$

系のギブズ自由エネルギー$G$は、液体相と気体相の化学ポテンシャルを用いて次のように表せる。

$G = n_L\mu_L + n_G\mu_G$

ギブズ自由エネルギーの変化$dG$は、

$dG = \mu_L dn_L + n_L d\mu_L + \mu_G dn_G + n_G d\mu_G$

等温等圧条件（$dT = 0$、$dP = 0$）では、$d\mu_L = 0$、$d\mu_G = 0$なので、

$dG = \mu_L dn_L + \mu_G dn_G$

$dn_L = -dn_G$を代入すると、

$dG = \mu_L dn_L - \mu_G dn_L = (\mu_L - \mu_G) dn_L$

平衡状態では$dG = 0$なので、

$(\mu_L - \mu_G) dn_L = 0$

$dn_L$は任意の変化を表すので、$dn_L = 0$とは限らない。したがって、

$\mu_L - \mu_G = 0$

よって、

$\mu_L = \mu_G$

3. 最終的な答え

$\mu_L = \mu_G$