問題34： $\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $P$、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $Q$、線分 $PQ$ を $2:1$ に内分する点を $R$ とする。点 $A, B, C$ の位置ベクトルを、それぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とするとき、次の点の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。 (1) $P(\vec{p})$ (2) $Q(\vec{q})$ (3) $R(\vec{r})$

1. 問題の内容

問題34：

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $P$、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $Q$、線分 $PQ$ を $2:1$ に内分する点を $R$ とする。点 $A, B, C$ の位置ベクトルを、それぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とするとき、次の点の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。

(1) $P(\vec{p})$

(2) $Q(\vec{q})$

(3) $R(\vec{r})$

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{c}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) 点 $Q$ は辺 $AC$ を $4:3$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{q} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{4+3} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}$

(3) 点 $R$ は線分 $PQ$ を $2:1$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{r} = \frac{1\vec{p} + 2\vec{q}}{2+1} = \frac{\vec{p} + 2\vec{q}}{3}$

ここで、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ を代入すると

$\vec{r} = \frac{\frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} + 2\frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}}{3} = \frac{\frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} + \frac{6\vec{a} + 8\vec{c}}{7}}{3} = \frac{7(2\vec{b} + \vec{c}) + 3(6\vec{a} + 8\vec{c})}{3 \times 21}$

$\vec{r} = \frac{14\vec{b} + 7\vec{c} + 18\vec{a} + 24\vec{c}}{63} = \frac{18\vec{a} + 14\vec{b} + 31\vec{c}}{63}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{q} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{c}}{7}$

(3) $\vec{r} = \frac{18\vec{a} + 14\vec{b} + 31\vec{c}}{63}$