12本の同じ鉛筆を4人で分ける場合の数を求める問題です。 (1) 鉛筆をもらえない人がいても良い場合と、(2) どの人も必ず1本はもらえる場合について、それぞれの場合の数を求めます。

1. 問題の内容

12本の同じ鉛筆を4人で分ける場合の数を求める問題です。

(1) 鉛筆をもらえない人がいても良い場合と、(2) どの人も必ず1本はもらえる場合について、それぞれの場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 鉛筆をもらえない人がいても良い場合

これは、12個の同じものを4人で分ける重複組み合わせの問題です。

仕切りを3つ用意し、12個の鉛筆と3つの仕切りの合計15個のものを並べる順列を考えます。

4人に分けるということは、3つの仕切りで区切ることを意味します。

このとき、並び方は、15個の中から仕切りの場所3つを選ぶ組み合わせの数になります。

したがって、場合の数は、$_{15}C_3$で計算できます。

$_{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

(2) どの人も必ず1本はもらえる場合

まず、4人全員に1本ずつ鉛筆を配ります。すると、残りの鉛筆は12 - 4 = 8本となります。

この残りの8本の鉛筆を、4人で分けることを考えます。このとき、鉛筆をもらえない人がいても良いので、(1)と同じように重複組み合わせの問題として考えられます。

8個の鉛筆と3つの仕切りの合計11個のものを並べる順列を考えます。

11個の中から仕切りの場所3つを選ぶ組み合わせの数になります。

したがって、場合の数は、$_{11}C_3$で計算できます。

$_{11}C_3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

3. 最終的な答え

(1) 455通り

(2) 165通り