角砂糖10個を3枚の皿にのせる。どの皿にも少なくとも1個はのせるとする。 (1) 互いに区別のない3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。 (2) 互いに異なる3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。 (3) 区別のない2枚とそれとは異なる1枚の合計3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

角砂糖10個を3枚の皿にのせる。どの皿にも少なくとも1個はのせるとする。

(1) 互いに区別のない3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。

(2) 互いに異なる3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。

(3) 区別のない2枚とそれとは異なる1枚の合計3枚の皿にのせる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 互いに区別のない3枚の皿にのせる場合

まず、10個の角砂糖を3つのグループに分けることを考える。ただし、どのグループにも少なくとも1個は含まれる必要がある。

まず、10個の角砂糖から3個を取り出し、それぞれのお皿に1個ずつ置く。残りの7個を3つのお皿にどのように分配するかを考える。

7個を3つのグループに分ける方法は、(5,1,1), (4,2,1), (3,3,1), (3,2,2) の4通りである。

したがって、互いに区別のない3枚の皿にのせる方法は4通りである。

(2) 互いに異なる3枚の皿にのせる場合

(1)で求めた分け方に対して、皿が区別できるので、それぞれの場合について並べ方を考える。

(5,1,1)の場合、並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。

(4,2,1)の場合、並べ方は $3! = 6$ 通り。

(3,3,1)の場合、並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。

(3,2,2)の場合、並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。

したがって、合計で $3+6+3+3=15$ 通り。

また、各皿に最低1個の角砂糖を入れるという条件の下で、10個の角砂糖を3つの区別できる皿に分配する方法は、$x_1 + x_2 + x_3 = 10$, $x_i \geq 1$を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の数である。

$y_i = x_i - 1$ とおくと、$y_1 + y_2 + y_3 = 7$, $y_i \geq 0$ となる。

この場合の数は、重複組合せを用いて ${}_3H_7 = {}_{3+7-1}C_7 = {}_9C_7 = {}_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ 通りとなる。

(3) 区別のない2枚とそれとは異なる1枚の合計3枚の皿にのせる場合

(1)で求めた分け方に対して、(5,1,1), (4,2,1), (3,3,1), (3,2,2) の4通りの分け方がある。

(5,1,1) の場合、異なる皿に入れる角砂糖の数は 5か1となる。 よって 2通り

(4,2,1) の場合、異なる皿に入れる角砂糖の数は 4,2,1となる。 よって 3通り

(3,3,1) の場合、異なる皿に入れる角砂糖の数は 3か1となる。 よって 2通り

(3,2,2) の場合、異なる皿に入れる角砂糖の数は 3か2となる。 よって 2通り

したがって、合計で $2+3+2+2=9$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 4 通り

(2) 36 通り

(3) 9 通り