9つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9から異なる4つの数字を用いて作れる4桁の整数を小さい順に並べる。 (1) 作れる4桁の整数は全部でいくつあるか。 (2) 3725は何番目の整数か。 (3) 100番目の整数は何か。

1. 問題の内容

9つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9から異なる4つの数字を用いて作れる4桁の整数を小さい順に並べる。

(1) 作れる4桁の整数は全部でいくつあるか。

(2) 3725は何番目の整数か。

(3) 100番目の整数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 異なる4つの数字を選ぶ組み合わせを計算する。これは順列ではなく組み合わせなので、順序は考慮しない。9つの数字から4つを選ぶ組み合わせの数は $_9C_4$で計算できる。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) 3725より小さい整数を数える。

まず、千の位が1,2の場合の数を考える。

千の位が1の場合、残りの3つの位には2から9の数字から3つを選ぶ。これは$_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

千の位が2の場合も同様に$_8C_3 = 56$通り。

千の位が3の場合、百の位が1から6までの場合を考える。

百の位が1から6までの場合、残りの2つの位には残りの7つの数字から2つを選ぶ。これは$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。したがって、百の位が1から6の場合は、$6 \times 21 = 126$通り。

千の位が3で百の位が7の場合、十の位が1の場合$_6C_1 = 6$通り。十の位が2の場合、372_の形である必要がある。残りの一の位に使える数字は4,5,6,8,9の5つなので5通り。3725自体を含むので、これまでの数を足し合わせる。

$56 + 56 + 126 + 6 + 5 = 249$

3725は250番目である。

(3) 100番目の整数を求める。

まず、千の位が1の場合、残りの3つの位には2から9の数字から3つを選ぶ。これは$_8C_3 = 56$通り。

千の位が2の場合も同様に$_8C_3 = 56$通り。

千の位が1と2の合計は$56+56=112$となり100を超える。したがって100番目の整数は千の位が2である。

100番目は、千の位が2の場合の44番目($100-56=44$)である。

2で始まるもののうち、百の位が3のものの数は、残りの7つの数字から2つを選ぶ組み合わせなので$_7C_2 = 21$。同様に4の場合も21通り。したがって23XX, 24XXの数は$21+21=42$。

したがって100番目の数は25で始まる。

44番目は25で始まる数字の2番目である。

25の次に小さい数字は3と4なので、2534が答え。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 250番目

(3) 2534