1から9までの整数をいくつか足して10にする組み合わせを求める問題です。同じ数を何度用いても良いものとします。具体的には以下の3つの問いに答えます。 (1) 3個の数を用いる場合は何通りあるか。 (2) 8個以上の数を用いる場合は何通りあるか。 (3) 全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

1から9までの整数をいくつか足して10にする組み合わせを求める問題です。同じ数を何度用いても良いものとします。具体的には以下の3つの問いに答えます。

(1) 3個の数を用いる場合は何通りあるか。

(2) 8個以上の数を用いる場合は何通りあるか。

(3) 全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3個の数を用いる場合

$x + y + z = 10$となるような1以上9以下の整数$x, y, z$の組み合わせを求めます。ただし、順番は区別しません。

考えられる組み合わせを列挙します。

1 + 1 + 8 = 10

1 + 2 + 7 = 10

1 + 3 + 6 = 10

1 + 4 + 5 = 10

2 + 2 + 6 = 10

2 + 3 + 5 = 10

2 + 4 + 4 = 10

3 + 3 + 4 = 10

よって、8通りです。

(2) 8個以上の数を用いる場合

8個の場合：1+1+1+1+1+1+1+3=10, 1+1+1+1+1+1+2+2=10の2通り

9個の場合：1+1+1+1+1+1+1+1+2=10の1通り

10個の場合：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10の1通り

したがって、2+1+1=4通りです。

(3) 全部で何通りあるか

まずは小さい数から数え上げます。

1個の場合：なし

2個の場合：1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5, 6+4, 7+3, 8+2, 9+1 の9通り

3個の場合：8通り (上記参照)

4個の場合：

1+1+1+7, 1+1+2+6, 1+1+3+5, 1+1+4+4, 1+2+2+5, 1+2+3+4, 1+3+3+3, 2+2+2+4, 2+2+3+3

$1+1+1+7=10$, $1+1+2+6=10$, $1+1+3+5=10$, $1+1+4+4=10$, $1+2+2+5=10$, $1+2+3+4=10$, $1+3+3+3=10$, $2+2+2+4=10$, $2+2+3+3=10$の9通り。

さらにこれら各組み合わせの並び替えを考慮すると、

1+1+1+7は4通り, 1+1+2+6は12通り, 1+1+3+5は12通り, 1+1+4+4は6通り, 1+2+2+5は12通り, 1+2+3+4は24通り, 1+3+3+3は4通り, 2+2+2+4は4通り, 2+2+3+3は6通り。

5個の場合：1+1+1+1+6, 1+1+1+2+5, 1+1+1+3+4, 1+1+2+2+4, 1+1+2+3+3, 1+2+2+2+3,

6個の場合：1+1+1+1+1+5, 1+1+1+1+2+4, 1+1+1+1+3+3, 1+1+1+2+2+3, 1+1+2+2+2+2

7個の場合：1+1+1+1+1+1+4, 1+1+1+1+1+2+3, 1+1+1+1+1+1+2+2

8個の場合：2通り

9個の場合：1通り

10個の場合：1通り

総当たりで数えるのは難しいので、母関数を用いることを考えます。

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (x + x^2 + x^3 + ... + x^9 + ) + (x + x^2 + x^3 + ... + x^9 + )^2 + (x + x^2 + x^3 + ... + x^9 + )^3 + ...$

$x^{10}$の係数を求めれば良いのですが、計算が大変です。

総当りで数えていくことにします。

1個：0通り

2個：9通り

3個：8通り

4個：5通り

5個：3通り

6個：3通り

7個：2通り

8個：2通り

9個：1通り

10個：1通り

合計は、9 + 8 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 34通り

3. 最終的な答え

(1) 8通り

(2) 4通り

(3) 34通り