5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個の数字を選んで並べ、3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 5の倍数 (2) 偶数 (3) 奇数

1. 問題の内容

5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個の数字を選んで並べ、3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個作れるか。

(1) 5の倍数

(2) 偶数

(3) 奇数

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数について:

3桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が5である必要がある。

一の位が5に固定されているので、残りの2つの位には、1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(2) 偶数について:

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。与えられた数字の中で偶数は2と4である。

したがって、一の位は2または4のいずれかになる。

(a) 一の位が2の場合:

一の位が2に固定されているので、残りの2つの位には、1, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(b) 一の位が4の場合:

一の位が4に固定されているので、残りの2つの位には、1, 2, 3, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

一の位が2の場合と4の場合を足し合わせることで、偶数の個数が求まる。

$12 + 12 = 24$

(3) 奇数について:

3桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数である必要がある。与えられた数字の中で奇数は1, 3, 5である。

したがって、一の位は1, 3, 5のいずれかになる。

(a) 一の位が1の場合:

一の位が1に固定されているので、残りの2つの位には、2, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(b) 一の位が3の場合:

一の位が3に固定されているので、残りの2つの位には、1, 2, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(c) 一の位が5の場合:

一の位が5に固定されているので、残りの2つの位には、1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは順列の問題なので、 $_4P_2$ で計算できる。

$_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

一の位が1の場合、3の場合、5の場合を足し合わせることで、奇数の個数が求まる。

$12 + 12 + 12 = 36$

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数：12個

(2) 偶数：24個

(3) 奇数：36個