半径1の円Cの中心Oから距離4にある点Lから、円Cに2本の接線を引く。その接点をそれぞれM, Nとする。 (1) 三角形LMNの面積を求めよ。 (2) 三角形LMNの内接円の半径rと外接円の半径Rを求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円Cの中心Oから距離4にある点Lから、円Cに2本の接線を引く。その接点をそれぞれM, Nとする。

(1) 三角形LMNの面積を求めよ。

(2) 三角形LMNの内接円の半径rと外接円の半径Rを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形LMNの面積を求める。

LMとLNは円Cの接線なので、LM = LNである。また、OM = ON = 1であり、OL = 4である。

直角三角形OLMにおいて、ピタゴラスの定理より、

$LM^2 + OM^2 = OL^2$

$LM^2 + 1^2 = 4^2$

$LM^2 = 16 - 1 = 15$

$LM = \sqrt{15}$

よって、LM = LN = $\sqrt{15}$である。

次に、角MOL = $\theta$とすると、sin$\theta$ = $\frac{OM}{OL} = \frac{1}{4}$となる。

角MLN = 2$\theta$であり、cos(2$\theta$) = 1 - 2sin$^2$$\theta$ = 1 - 2($\frac{1}{4}$)$^2$ = 1 - $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

三角形LMNの面積は、

$\frac{1}{2} LM \cdot LN \cdot \sin(2\theta)$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} \cdot \sin(2\theta)$

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$であり、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$なので、

$\sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

したがって、三角形LMNの面積は、$\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{15\sqrt{15}}{16}$

(2) 三角形LMNの内接円の半径rと外接円の半径Rを求める。

三角形LMNの内接円の半径rを求める。

三角形LMNの面積Sは、S = $\frac{1}{2}r(LM + LN + MN)$で表される。

MNを求める。余弦定理より、

$MN^2 = LM^2 + LN^2 - 2LM \cdot LN \cdot \cos(2\theta)$

$MN^2 = 15 + 15 - 2 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} \cdot \frac{7}{8} = 30 - 2 \cdot 15 \cdot \frac{7}{8} = 30 - \frac{105}{4} = \frac{120 - 105}{4} = \frac{15}{4}$

$MN = \frac{\sqrt{15}}{2}$

よって、S = $\frac{1}{2} r (\sqrt{15} + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{15}}{2}) = \frac{1}{2} r (2\sqrt{15} + \frac{\sqrt{15}}{2}) = \frac{1}{2}r(\frac{5\sqrt{15}}{2}) = \frac{5\sqrt{15}}{4}r$

$\frac{15\sqrt{15}}{16} = \frac{5\sqrt{15}}{4}r$

$r = \frac{15\sqrt{15}}{16} \cdot \frac{4}{5\sqrt{15}} = \frac{3}{4}$

三角形LMNの外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、$\frac{MN}{\sin(2\theta)} = 2R$なので、

$R = \frac{MN}{2\sin(2\theta)} = \frac{\sqrt{15}/2}{2 \cdot \sqrt{15}/8} = \frac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 三角形LMNの面積: $\frac{15\sqrt{15}}{16}$

(2) 内接円の半径r: $\frac{3}{4}$

外接円の半径R: $2$