与えられた関数 $y_1$, $y_2$, $y_3$ を $x$ について微分する問題です。 具体的には、以下の微分を計算します。 (1) $y_1 = \frac{d}{dx}(x \log x)$ (2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$ (3) $y_3 = \frac{d}{dx}(\log |1-x^2|) \quad (x \neq \pm 1)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y_1$, $y_2$, $y_3$ を $x$ について微分する問題です。

具体的には、以下の微分を計算します。

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(x \log x)$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(\log |1-x^2|) \quad (x \neq \pm 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(x \log x)$

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用います。$u = x$、$v = \log x$ とすると、$u' = 1$、$v' = \frac{1}{x}$ です。

よって、

$y_1 = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$

再び積の微分公式を用います。$u = x^2$、$v = \log x$ とすると、$u' = 2x$、$v' = \frac{1}{x}$ です。

よって、

$y_2 = 2x \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(\log |1-x^2|)$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用います。

$f(u) = \log |u|$、$g(x) = 1-x^2$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}$、$g'(x) = -2x$ です。

よって、

$y_3 = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = \log x + 1$

(2) $y_2 = x(2 \log x + 1)$

(3) $y_3 = \frac{2x}{x^2-1}$