9個の角砂糖を3枚の皿に、どの皿にも少なくとも1個はのせるように分ける。 (1) 皿を区別しない場合の方法の数。 (2) 皿を区別する場合の方法の数。 (3) 2枚は区別せず、残り1枚は区別する場合の方法の数。

1. 問題の内容

9個の角砂糖を3枚の皿に、どの皿にも少なくとも1個はのせるように分ける。

(1) 皿を区別しない場合の方法の数。

(2) 皿を区別する場合の方法の数。

(3) 2枚は区別せず、残り1枚は区別する場合の方法の数。

2. 解き方の手順

(1) 皿を区別しない場合

まず、各皿に最低1個は入れるので、残りの6個を3つの皿に分ける問題を考える。

6を3つの正の整数に分割する方法を考える。

分割の種類は次の通り:

- (4, 1, 1) -> 4+1+1=6

- (3, 2, 1) -> 3+2+1=6

- (2, 2, 2) -> 2+2+2=6

したがって、9個の角砂糖を3枚の区別しない皿に分ける方法は、(5, 2, 2), (4, 3, 2), (3, 3, 3) となる。

これらはすべて異なる分割なので、3通り。

(2) 皿を区別する場合

(1)の場合分けを用いて考える。

- (5, 2, 2)の場合、並び方は $3!/2! = 3$ 通り。皿を区別するので、この3通りそれぞれで、角砂糖の個数の組み合わせを皿に割り当てる。3枚の皿を区別するので、3通り。角砂糖9個を3つの皿に割り振る方法は $3! / 2! = 3$ 通り。 従って、9個の角砂糖を3枚の区別する皿に分ける方法は $3 \times 3 = 90$通り。

- (4, 3, 2)の場合、並び方は $3! = 6$ 通り。

- (3, 3, 3)の場合、並び方は $3! / 3! = 1$ 通り。

よって、3つの皿を区別する場合は、$3+6+1 = 10$ をもとに考える。

各皿に最低1個は角砂糖を入れるので、残りの6個の分け方を考える。

6を3つの非負整数に分ける問題を考える。

(5,2,2)の場合: 9C5 * 4C2 * 2C2 / 2! = 126 * 6 / 2 = 378

(4,3,2)の場合: 9C4 * 5C3 * 2C2 = 126 * 10 = 1260

(3,3,3)の場合: 9C3 * 6C3 * 3C3 / 3! = 84 * 20 / 6 = 280

(5, 2, 2)の場合：3通りなので$3 \times \frac{9!}{5!2!2!} = 3 \times 756 = 2268$。順列の総数は $3!=6$。同じ個数の組があるため $2!$ で割る。$3 \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{2 \times 2} = 3 \times 9 \times 2 \times 7 \times 6 = 2268$。

(4, 3, 2)の場合：6通りなので$6 \times \frac{9!}{4!3!2!} = 6 \times 1260 = 7560$。$6 \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 2} = 7560$

(3, 3, 3)の場合：1通りなので$\frac{9!}{3!3!3!} / 3! = \frac{1680}{6} = 280$。$\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 3 \times 2} = 1680$.

和を取ると $2268 + 7560 + 280 = 10108$

これは重複がある．答えは280。

(3) 2枚の皿が区別されず、1枚は区別される場合

(5, 2, 2)の場合、$9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120$。$\binom{9}{5}\binom{4}{2} = 126 \times 6 = 756$, $\binom{9}{4}\binom{5}{3} = 126 \times 10 = 1260$, $\binom{9}{3}\binom{6}{3} = 84 \times 20 = 1680$, 756 * 3 + 1260 * 6 / 2 =

考え方を変える。

まず、区別される皿に1個以上角砂糖をいれるので、残りの8個の分け方を考える。2つの皿に分配するわけだから、(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)の4通り。逆の順番も入れて8通り。

(3, 3, 3)の場合、これは2つの皿は区別しないので組み合わせは1通り。

なので、答えは 10 +

3. 最終的な答え

(1) 7通り

(2) 28通り

(3) 36通り