7つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7から異なる5つの数字を選んで作られる5桁の整数を小さい順に並べる。 (1) 全部でいくつの整数ができるか。 (2) 23465は何番目の整数か。 (3) 100番目の整数は何か。

1. 問題の内容

7つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7から異なる5つの数字を選んで作られる5桁の整数を小さい順に並べる。

(1) 全部でいくつの整数ができるか。

(2) 23465は何番目の整数か。

(3) 100番目の整数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 異なる7つの数字から5つの数字を選ぶ組み合わせの数を求める。これは順列の公式を用いる。

$_7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

したがって、全部で2520個の整数ができる。

(2) 23465より小さい整数を数える。

- 1から始まる整数：$_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

- 21から始まる整数：$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

- 231から始まる整数：$_4P_2 = 4 \times 3 = 12$

- 2341から始まる整数：$_3P_1 = 3$

- 2345から始まる整数：1つもない

- 23461より小さい数：なし

23465より小さい整数は、

- 2341から始まる：5, 5番目

- 2345から始まる：6

したがって、23465は360 + 60 + 12 + 3 + 1 = 436番目。

23465より小さい数は435個なので、23465は436番目である。

23465 = 2,3,4,6,5

- 1 _ _ _ _ = $_6P_4 = 360$

- 21 _ _ _ = $_5P_3 = 60$

- 231 _ _ = $_4P_2 = 12$

- 2341 _ = $_3P_1 = 3$

- 2345 _ = 1

- 23461 = 1

- 23465 = 436+1 = 437番目

(3) 100番目の整数を求める。

- 1から始まる整数：360個

100番目の整数は1から始まる整数の中に含まれる。小さい方から100番目なので、1から始まる整数の中で100番目の整数を求める。

1を固定したとき、残りの4つの数字の組み合わせで100番目の整数を考える。

1 _ _ _ _ : 360個

次に小さい数字は2なので、

2 _ _ _ _ : 360個

2から始まるものは多いので、100番目を求める。

2から始まる数字の並び順で100番目を求める。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 437番目

(3) 計算過程から推測すると、100番目の整数は1で始まるものに含まれる。具体的に100番目の整数を求めるのは難しいが、選択肢から答えを選ぶ形式であれば解ける可能性がある。ただし、現状では100番目の整数を正確に求めることは困難である。

上記で(3)に関して少し補足します。

1からはじまるもので360個あります。

100番目なので、 1 X X X Xのなかで100番目を考えれば良いです。

例えば

1 2 X X X = $5*4*3=60$

1 3 X X X = 60

12から始まる60個の中に100番目は無いので、13から始まる。

つまり100-60 = 40番目

1 3 X X Xの中での40番目を考える。

13 2 X X = $4*3=12$

13 4 X X = $4*3=12$

13 5 X X = $4*3=12$

40 - 12 -12 - 12 = 4

13 6 X X の中で4番目

13 62 4

13 62 5

13 62 7

13 64 2 -> 4番目

答え　13642