与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $\vec{a} = (1, -\sqrt{3})$, $\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$ (2) $\vec{a} = (1, 7)$, $\vec{b} = (4, 3)$

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。2つの問題があります。

(1) $\vec{a} = (1, -\sqrt{3})$, $\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$

(2) $\vec{a} = (1, 7)$, $\vec{b} = (4, 3)$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$ を利用して、$\cos{\theta}$ を求め、$\theta$ を求めます。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

(1) $\vec{a} = (1, -\sqrt{3})$, $\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(-1) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{(2)(2)} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ または $30^{\circ}$

(2) $\vec{a} = (1, 7)$, $\vec{b} = (4, 3)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (7)(3) = 4 + 21 = 25$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\cos{\theta} = \frac{25}{(5\sqrt{2})(5)} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ または $45^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$ または $30^{\circ}$

(2) $\frac{\pi}{4}$ または $45^{\circ}$