三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCの交点をD、辺BCの中点をMとする。3点A, D, Mを通る円が辺AB, ACとそれぞれ点E, Fで交わる。BD=4, DC=2であるとき、以下の値を求めよ。 (1) CF・CA (2) BE/CF

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCの交点をD、辺BCの中点をMとする。3点A, D, Mを通る円が辺AB, ACとそれぞれ点E, Fで交わる。BD=4, DC=2であるとき、以下の値を求めよ。

(1) CF・CA

(2) BE/CF

2. 解き方の手順

(1) CF・CAの値を求める。

まず、方べきの定理を点Cに関して円ADMFに適用すると、

$CF \cdot CA = CD \cdot CM$

ここで、CD = 2であり、MはBCの中点なので、$BM = MC$。また、BC = BD + DC = 4 + 2 = 6なので、MC = 6/2 = 3。

したがって、

$CF \cdot CA = 2 \cdot 3 = 6$

(2) BE/CFの値を求める。

まず、$AD$は$\angle BAC$の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、$AB = 2AC$。

また、円に内接する四角形AEDFについて、方べきの定理を点Bに関して円ADMEに適用すると、

$BE \cdot BA = BD \cdot BM$

ここで、$BD = 4$、$BM = 3$、$BA = AB = 2AC$なので、

$BE \cdot (2AC) = 4 \cdot 3 = 12$

$BE = \frac{12}{2AC} = \frac{6}{AC}$

したがって、

$\frac{BE}{CF} = \frac{\frac{6}{AC}}{CF} = \frac{6}{AC \cdot CF}$

(1)の結果より、$CF \cdot CA = 6$なので、$CF = \frac{6}{CA} = \frac{6}{AC}$。

よって、$\frac{BE}{CF} = \frac{6}{AC} \cdot \frac{AC}{6} = 1$.

3. 最終的な答え

(1) $CF \cdot CA = 6$

(2) $\frac{BE}{CF} = 1$