与えられた関数 $y = (x+2)\sqrt{4-x^2}$ の微分 $y'$ が $y' = -\frac{2(x-1)(x+2)}{\sqrt{4-x^2}}$ であることを確認する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x+2)\sqrt{4-x^2}$ の微分 $y'$ が $y' = -\frac{2(x-1)(x+2)}{\sqrt{4-x^2}}$ であることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

$y = (x+2)\sqrt{4-x^2}$ を微分するために、積の微分法と合成関数の微分法を使用します。

積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、$\sqrt{4-x^2}$ の微分は合成関数の微分法により計算します。

まず、$u = x+2$ と $v = \sqrt{4-x^2}$ とおきます。

すると、$u' = 1$ です。

次に、$v = \sqrt{4-x^2} = (4-x^2)^{1/2}$ の微分を計算します。

$v' = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

積の微分法により、

$y' = u'v + uv' = (1)\sqrt{4-x^2} + (x+2)\left(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\right)$

$y' = \sqrt{4-x^2} - \frac{x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}}$

通分して整理します。

$y' = \frac{4-x^2 - x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2 - 2x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = \frac{-2(x^2 + x - 2)}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{-2(x-1)(x+2)}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

与えられた関数の微分は $y' = -\frac{2(x-1)(x+2)}{\sqrt{4-x^2}}$ である。