$\left( \sin^{-1} \frac{2}{x} \right)'$ を求める問題です。つまり、$ \sin^{-1} \frac{2}{x} $ の微分を計算します。

1. 問題の内容

$\left( \sin^{-1} \frac{2}{x} \right)'$ を求める問題です。つまり、$\sin^{-1} \frac{2}{x}$ の微分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数の微分公式を利用します。$\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ です。ここで、$u = \frac{2}{x}$ とします。

まず、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$ なので、

$\frac{du}{dx} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

次に、$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2}{x}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-4}{x^2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-4}}{|x|}} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-4}}$

したがって、求める微分は、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{2}{x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2}{x}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-4}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2|x|}{x^2\sqrt{x^2-4}}$

$x>2$ のとき $|x| = x$なので、

$-\frac{2x}{x^2\sqrt{x^2-4}} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$

$x<-2$ のとき $|x| = -x$なので、

$-\frac{-2x}{x^2\sqrt{x^2-4}} = \frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$

以上をまとめると、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{2}{x} = -\frac{2|x|}{x^2\sqrt{x^2-4}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2|x|}{x^2\sqrt{x^2-4}}$