与えられた極限を計算します。 $$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(2t)}{t}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(2t)}{t}$$

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(x)$ のマクローリン展開を利用します。$\sin^{-1}(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + ...$ ですから、$\sin^{-1}(2t) = 2t + \frac{(2t)^3}{6} + \frac{3(2t)^5}{40} + ... = 2t + \frac{8t^3}{6} + \frac{3(32t^5)}{40} + ...$ となります。

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{2t + \frac{8t^3}{6} + \frac{96t^5}{40} + ...}{t}$$

$$= \lim_{t \to 0} \left(2 + \frac{8t^2}{6} + \frac{96t^4}{40} + ...\right)$$

$t \to 0$のとき、$t^2, t^4, ...$ は0に近づくので、

$$\lim_{t \to 0} \left(2 + \frac{8t^2}{6} + \frac{96t^4}{40} + ...\right) = 2$$

別の解き方として、ロピタルの定理を利用できます。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(2t)}{t}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} \sin^{-1}(2t)}{\frac{d}{dt} t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-(2t)^2}}}{1}$$

$$= \lim_{t \to 0} \frac{2}{\sqrt{1-4t^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-0}} = 2$$

3. 最終的な答え

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