与えられた関数 $y = \frac{1}{e^{-x} + 1}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}$ であることを確認します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{e^{-x} + 1}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}$ であることを確認します。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分します。$y$ は $y = (e^{-x} + 1)^{-1}$ と書き直せます。

連鎖律を適用して微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{-x} + 1)^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -1 (e^{-x} + 1)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (e^{-x} + 1)$

次に、$e^{-x}$ の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

したがって、

$\frac{d}{dx} (e^{-x} + 1) = -e^{-x}$

これを代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -1 (e^{-x} + 1)^{-2} \cdot (-e^{-x})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}$

したがって、与えられた導関数は正しいです。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}$