不等式 $|x - \frac{1}{4}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x - \frac{1}{4}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式 $|x - \frac{1}{4}| < a$ を変形します。これは $-a < x - \frac{1}{4} < a$ と同値です。

さらに、各辺に $\frac{1}{4}$ を足すと、

$\frac{1}{4} - a < x < \frac{1}{4} + a$

となります。

この不等式を満たす整数 $x$ が5個あるということは、整数 $x$ の範囲が連続した5つの整数を含んでいるということです。整数が連続していることから、その範囲の中心付近に $\frac{1}{4}$ があると考えられます。

$\frac{1}{4} - a$ と $\frac{1}{4} + a$ の中点は $\frac{1}{4}$ なので、整数 $x$ の範囲の中心は $\frac{1}{4}$ に近い整数になります。

整数 $x$ が5個存在するため、その5個の整数を中心の整数 $n$ として、$n-2, n-1, n, n+1, n+2$ と表現できます。

このとき、$n-2 \geq \frac{1}{4} - a$ かつ $n+2 < \frac{1}{4} + a$ が必要です。

$\frac{1}{4} - a < n-2$ より、$a < n - \frac{1}{4} + 2 = n + \frac{7}{4}$.

$\frac{1}{4} + a > n+2$ より、$a > n+2 - \frac{1}{4} = n + \frac{7}{4} - \varepsilon$ ($\varepsilon$は限りなく小さい正の数)

$n-3$ は範囲に含まれず、$n+3$ も範囲に含まれないことから、

$n-3 \leq \frac{1}{4} - a$ かつ $\frac{1}{4} + a \leq n+3$ を満たす必要があります。

$n-3 > \frac{1}{4} - a$ を満たす必要があることから $n-3 - \frac{1}{4} < a$

$\frac{1}{4} + a < n+3$ を満たす必要があることから $a < n+3 - \frac{1}{4} = n+\frac{11}{4}$

まとめると、

$n-2 \geq \frac{1}{4} - a$

$n+2 < \frac{1}{4} + a$

$n-3 < \frac{1}{4} - a$ ではない

$n+3 > \frac{1}{4} + a$ ではない

$a$ の条件は以下のようになります。

$n+\frac{7}{4} \le a < n+\frac{11}{4}$

最も小さい整数 $n-2$ が0だとすると、連続する整数は0, 1, 2, 3, 4となる。中央の整数は

2. したがって $n=2$ となり、$\frac{15}{4} \le a < \frac{19}{4}$

$\frac{1}{4}-a < 0$ かつ $\frac{1}{4}+a > 4$ である必要がある。

$a>\frac{15}{4}$ かつ $a > -\frac{1}{4}$なので、確かに条件を満たす。

3. 最終的な答え

$\frac{15}{4} \le a < \frac{19}{4}$