与えられた4つの問題について、それぞれの答えを求める。 問題1：$x^2 - ax + 3a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 5 = 0$ がともに実数解を持つときの $a$ の範囲を求める。 問題2：$a$ は正の定数とする。$x^2 - 8ax + 3 - 2a = 0$ と $2x^2 + x + 5a^2 = 0$ のどちらも実数解を持たないときの $a$ の範囲を求める。 問題3：すべての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a-1)x + a - 1 > 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。 問題4：$x^2 - 3x + k = 0$ と $x^2 + kx - 3 = 0$ が共通解をただ一つ持つときの $k$ の値と共通解を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題について、それぞれの答えを求める。

問題1：$x^2 - ax + 3a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 5 = 0$ がともに実数解を持つときの $a$ の範囲を求める。

問題2：$a$ は正の定数とする。$x^2 - 8ax + 3 - 2a = 0$ と $2x^2 + x + 5a^2 = 0$ のどちらも実数解を持たないときの $a$ の範囲を求める。

問題3：すべての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a-1)x + a - 1 > 0$ が成り立つような $a$ の範囲を求める。

問題4：$x^2 - 3x + k = 0$ と $x^2 + kx - 3 = 0$ が共通解をただ一つ持つときの $k$ の値と共通解を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

判別式をそれぞれ $D_1, D_2$ とすると、

$D_1 = (-a)^2 - 4(1)(3a) = a^2 - 12a \ge 0$

$a(a-12) \ge 0$ より、$a \le 0, a \ge 12$

$D_2 = (-a)^2 - 4(1)(a^2-5) = a^2 - 4a^2 + 20 = -3a^2 + 20 \ge 0$

$3a^2 \le 20$

$a^2 \le \frac{20}{3}$

$-\sqrt{\frac{20}{3}} \le a \le \sqrt{\frac{20}{3}}$

$-\frac{2\sqrt{15}}{3} \le a \le \frac{2\sqrt{15}}{3}$

$a \le 0, a \ge 12$ と $-\frac{2\sqrt{15}}{3} \le a \le \frac{2\sqrt{15}}{3}$ の共通範囲は $-\frac{2\sqrt{15}}{3} \le a \le 0$。

問題2：

判別式をそれぞれ $D_1, D_2$ とすると、

$D_1 = (-8a)^2 - 4(1)(3-2a) = 64a^2 - 12 + 8a < 0$

$16a^2 + 2a - 3 < 0$

$(8a + 3)(2a - 1) < 0$

$-\frac{3}{8} < a < \frac{1}{2}$

$D_2 = 1^2 - 4(2)(5a^2) = 1 - 40a^2 < 0$

$40a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{40}$

$a < -\frac{1}{2\sqrt{10}}$ または $a > \frac{1}{2\sqrt{10}}$

$a$ は正の定数なので $a > \frac{1}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{20}$

$-\frac{3}{8} < a < \frac{1}{2}$ と $a > \frac{\sqrt{10}}{20}$ の共通範囲は $\frac{\sqrt{10}}{20} < a < \frac{1}{2}$.

問題3：

$ax^2 + (a-1)x + a-1 > 0$

$a > 0$ かつ $D = (a-1)^2 - 4a(a-1) < 0$

$a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 4a < 0$

$-3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a + 1)(a - 1) > 0$

$a < -\frac{1}{3}, a > 1$

$a > 0$ との共通範囲は $a > 1$。

$a=0$ のとき、$-(x+1)>0$なので、任意の実数xで成り立つわけではない。

よって、$a > 1$.

問題4：

$x^2 - 3x + k = 0$

$x^2 + kx - 3 = 0$

共通解を $\alpha$ とすると、

$\alpha^2 - 3\alpha + k = 0$

$\alpha^2 + k\alpha - 3 = 0$

引き算すると、

$-3\alpha + k - k\alpha + 3 = 0$

$(k+3) - (k+3)\alpha = 0$

$(k+3)(1 - \alpha) = 0$

$k = -3$ または $\alpha = 1$

$k=-3$ のとき、

$x^2 - 3x - 3 = 0$ と $x^2 - 3x - 3 = 0$ となり、共通解は2つになるので不適。

$\alpha=1$ のとき、

$1^2 - 3(1) + k = 0$

$1 - 3 + k = 0$

$k = 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

$x = -3, 1$

共通解は $x = 1$.

3. 最終的な答え

問題1：$-\frac{2\sqrt{15}}{3} \le a \le 0$

問題2：$\frac{\sqrt{10}}{20} < a < \frac{1}{2}$

問題3：$a > 1$

問題4：$k = 2$, 共通解は $x = 1$