画像の問題は、以下の5つの小問から構成されています。 (1) $x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2x^2 + 2y^2 + 4xy + x + y$ を因数分解する。 (2) 不等式 $(\frac{2}{3})^n < 0.01$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いる。 (3) $AB = AC = 3$, $BC = 2$ である三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$, $\angle ABC$ の二等分線が辺 $CA$ と交わる点を $E$, 線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $H$, 直線 $CH$ と辺 $AB$ の交点を $F$ とする。このとき、$AF:FB$ および四角形 $FBDH$ の面積を求める。 (4) 赤玉3個、青玉2個、白玉2個を一列に並べる。同じ色の玉は区別しないとき、これらの玉の並べ方の総数と、赤玉が隣り合わない並べ方の数を求める。 (5) $a, b, c$ は $a + b + c = 21$ を満たす整数とする。$a, b, c$ がこの順番で等比数列をなし、$b, a^2, c$ がこの順番で等差数列をなすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

画像の問題は、以下の5つの小問から構成されています。

(1) $x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2x^2 + 2y^2 + 4xy + x + y$ を因数分解する。

(2) 不等式 $(\frac{2}{3})^n < 0.01$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いる。

(3) $AB = AC = 3$, $BC = 2$ である三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$, $\angle ABC$ の二等分線が辺 $CA$ と交わる点を $E$, 線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $H$, 直線 $CH$ と辺 $AB$ の交点を $F$ とする。このとき、$AF:FB$ および四角形 $FBDH$ の面積を求める。

(4) 赤玉3個、青玉2個、白玉2個を一列に並べる。同じ色の玉は区別しないとき、これらの玉の並べ方の総数と、赤玉が隣り合わない並べ方の数を求める。

(5) $a, b, c$ は $a + b + c = 21$ を満たす整数とする。$a, b, c$ がこの順番で等比数列をなし、$b, a^2, c$ がこの順番で等差数列をなすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を整理し、因数分解します。

$x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2x^2 + 2y^2 + 4xy + x + y = (x+y)^3 + 2(x+y)^2 + (x+y) = (x+y)((x+y)^2 + 2(x+y) + 1) = (x+y)(x+y+1)^2$

(2)

$(\frac{2}{3})^n < 0.01$

両辺の常用対数を取ると

$n(\log_{10}2 - \log_{10}3) < \log_{10}0.01$

$n(0.3010 - 0.4771) < -2$

$n(-0.1761) < -2$

$n > \frac{-2}{-0.1761} = \frac{2}{0.1761} \approx 11.35$

したがって、$n$ の最小の自然数は 12。

(3)

メネラウスの定理より $AF/FB \cdot BD/DC \cdot CE/EA = 1$。$BD:DC = 1:2$ より $BD/DC = 1/2$。

角の二等分線の性質より $AE/EC = AB/BC = 3/2$。したがって $CE/EA = 2/3$。

$AF/FB \cdot (1/2) \cdot (2/3) = 1$

$AF/FB = 3$

よって、$AF:FB = 3:1$。

(4)

全部の並べ方は $\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 2} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ 通り。

赤玉が隣り合わない並べ方は、まず青玉と白玉を並べる。これは $\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ 通り。

例えば、青青白白 という並び方の場合、赤玉は 青_青_白_白_ の _ の場所に置ける。この5箇所から3箇所を選ぶので、${}_5 C_3 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ 通り。

よって、赤玉が隣り合わない並べ方は $6 \times 10 = 60$ 通り。

(5)

$a, b, c$ は等比数列なので、$b = ar, c = ar^2$ と書ける。

$a + b + c = a + ar + ar^2 = 21$

$b, a^2, c$ は等差数列なので、$2a^2 = b + c = ar + ar^2$

$2a^2 = ar + ar^2$ より、$2a = r + r^2$ ($a \neq 0$)

$r^2 + r - 2a = 0$

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8a}}{2}$

$a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 21$

$1+r+r^2 = \frac{21}{a}$

$r = 2a - r^2$ より $1+r+(2a-r) = 1 + 2a = \frac{21}{a}$

$a(1+2a) = 21$

$2a^2 + a - 21 = 0$

$(2a + 7)(a - 3) = 0$

$a = 3, -\frac{7}{2}$

$a$ は整数なので $a=3$

$r^2 + r - 6 = 0$

$(r+3)(r-2) = 0$

$r = 2, -3$

$a=3, r=2$ のとき、$b=6, c=12$。$(3, 6, 12)$

$a=3, r=-3$ のとき、$b=-9, c=27$。$(3, -9, 27)$

$a=0$ は不適。

3. 最終的な答え

ア: $(x+y)(x+y+1)^2$

イ: 12

ウ: $3:1$

エ: 未解答

オ: 210

カ: 60

キ: $(3, 6, 12), (3, -9, 27)$