実数 $x, y, z$ が、$x+y+2z=1$ と $x^2+y^2+z^2=1$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $z$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) さらに、$x \ge z$ かつ $y \ge z$ であるとき、$z$ のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が、$x+y+2z=1$ と $x^2+y^2+z^2=1$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $z$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) さらに、$x \ge z$ かつ $y \ge z$ であるとき、$z$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x+y = 1-2z$ であることを利用して、$x^2 + y^2$ を $z$ で表すことを考える。

$x^2+y^2+z^2 = 1$ より、$x^2+y^2 = 1-z^2$ となる。

コーシー・シュワルツの不等式 $(x^2+y^2)(1^2+1^2) \ge (x+y)^2$ を用いると、

$2(1-z^2) \ge (1-2z)^2$

$2-2z^2 \ge 1-4z+4z^2$

$0 \ge 6z^2 - 4z - 1$

$6z^2 - 4z - 1 \le 0$

二次方程式 $6z^2-4z-1=0$ の解は、$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{12} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{12} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{6}$

したがって、$\frac{2 - \sqrt{10}}{6} \le z \le \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

(2) $x+y = 1-2z$ より、$x = (1-2z) - y$ であるから、$x \ge z$ より $(1-2z) - y \ge z$ つまり、$y \le 1-3z$

同様に、$y \ge z$ であるから、$z \le y \le 1-3z$ となる。

$z \le 1-3z$ より、$4z \le 1$ だから、$z \le \frac{1}{4}$

また、$x^2+y^2 = 1-z^2$ において、$x \ge z$ かつ $y \ge z$ であるから、 $x = z + a$ , $y = z + b$ （$a, b \ge 0$） と表すことができる。

このとき、 $x+y+2z=1$ は $z+a+z+b+2z=1$ なので、$4z+a+b=1$ 。 よって、$x=z+a=z+1-4z-b = 1-3z-b$ , $y=z+b$。

$x^2+y^2+z^2 = (1-3z-b)^2 + (z+b)^2 + z^2 = 1$

$(1-3z)^2 - 2(1-3z)b + b^2 + z^2 + 2zb + b^2 + z^2 = 1$

$1 - 6z + 9z^2 - 2b + 6zb + b^2 + z^2 + 2zb + b^2 + z^2 = 1$

$11z^2 + 8zb - 6z + 2b^2 - 2b = 0$

$b = 1-4z \ge 0$ なので、$z \le \frac{1}{4}$

$x \ge z, y \ge z$ であることと $x^2+y^2=1-z^2$ より、$2z^2 \le x^2+y^2 = 1-z^2$ であるから、$3z^2 \le 1$ であり、$z \le \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

$x=y$ のときを考えると、$2x+2z = 1$, $2x^2+z^2=1$, よって、$x=(1-2z)/2$ より、$2(\frac{1-2z}{2})^2 + z^2 = 1$ なので、$\frac{1}{2}-z+3z^2 = 1$, $3z^2-z-\frac{1}{2}=0$, $z = \frac{1 \pm \sqrt{1+6}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}$

条件 $x \ge z$ は、$\frac{1-2z}{2} \ge z$, $1-2z \ge 2z$, $1 \ge 4z$, $z \le \frac{1}{4}$ を意味する。

$\frac{2 - \sqrt{10}}{6} \le z \le \frac{1}{4}$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2 - \sqrt{10}}{6} \le z \le \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

(2) $\frac{2 - \sqrt{10}}{6} \le z \le \frac{1}{4}$