$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x\sin\theta + 4 + \sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})\cos\theta = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) が異なる2つの実数解をもつような $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x\sin\theta + 4 + \sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})\cos\theta = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) が異なる2つの実数解をもつような $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-4\sin\theta)^2 - 4(4 + \sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})\cos\theta)$

$D = 16\sin^2\theta - 16 - 4\sqrt{2} + 8(1 + \sqrt{2})\cos\theta$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、

$D = 16(1 - \cos^2\theta) - 16 - 4\sqrt{2} + 8(1 + \sqrt{2})\cos\theta$

$D = 16 - 16\cos^2\theta - 16 - 4\sqrt{2} + 8(1 + \sqrt{2})\cos\theta$

$D = -16\cos^2\theta + 8(1 + \sqrt{2})\cos\theta - 4\sqrt{2}$

$D > 0$ となる条件は、

$-16\cos^2\theta + 8(1 + \sqrt{2})\cos\theta - 4\sqrt{2} > 0$

$4\cos^2\theta - 2(1 + \sqrt{2})\cos\theta + \sqrt{2} < 0$

$t = \cos\theta$ とおくと、

$4t^2 - 2(1 + \sqrt{2})t + \sqrt{2} < 0$

$4t^2 - 2t - 2\sqrt{2}t + \sqrt{2} < 0$

$2t(2t - 1) - \sqrt{2}(2t - 1) < 0$

$(2t - 1)(2t - \sqrt{2}) < 0$

$\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2} < \cos\theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$\frac{1}{2} < \cos\theta$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

$\cos\theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

よって、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{4}$