2次関数 $y = -3x^2 + 4x + k$ のグラフをCとする。 (1) Cの頂点の座標を求める。 (2) Cがx軸と共有点を持つときのkの値の範囲を求める。 (3) Cがx軸と2点で交わり、2点間の長さが$\frac{4}{3}$であるときのkの値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 4x + k$ のグラフをCとする。

(1) Cの頂点の座標を求める。

(2) Cがx軸と共有点を持つときのkの値の範囲を求める。

(3) Cがx軸と2点で交わり、2点間の長さが$\frac{4}{3}$であるときのkの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -3x^2 + 4x + k = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + k = -3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + k + \frac{4}{3} = -3(x - \frac{2}{3})^2 + k + \frac{4}{3}$

よって、頂点の座標は$(\frac{2}{3}, k + \frac{4}{3})$

(2) Cがx軸と共有点を持つときのkの値の範囲を求める。

Cがx軸と共有点を持つためには、判別式$D \geq 0$である必要がある。

$D = 4^2 - 4(-3)(k) = 16 + 12k \geq 0$

$12k \geq -16$

$k \geq -\frac{16}{12}$

$k \geq -\frac{4}{3}$

(3) Cがx軸と2点で交わり、2点間の長さが$\frac{4}{3}$であるときのkの値を求める。

2次方程式 $-3x^2 + 4x + k = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = \frac{4}{3}$

$\alpha \beta = -\frac{k}{3}$

2点間の距離が$\frac{4}{3}$なので、 $|\alpha - \beta| = \frac{4}{3}$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (\frac{4}{3})^2 - 4(-\frac{k}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{4k}{3}$

$(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

$\frac{16}{9} = \frac{16}{9} + \frac{4k}{3}$

$\frac{4k}{3} = 0$

$k = 0$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(\frac{2}{3}, k+\frac{4}{3})$

(2) kの値の範囲: $k \geq -\frac{4}{3}$

(3) kの値: $k=0$